Warum ist es schwierig, das Feynman Checkerboard auf mehr als 1+1 Dimensionen zu erweitern?

Liebe mtrencseni, genau die Seite, die Sie zitiert haben, hat eine Antwort in genau den folgenden Sätzen:

Es gibt zwei unterschiedliche Klassen von Erweiterungen, diejenigen, die mit einem festen zugrunde liegenden Gitter arbeiten (19, 20), und diejenigen, die den zweidimensionalen Fall in eine höhere Dimension einbetten (21, 22). Der Vorteil des ersteren ist, dass die Summe über Pfade näher am nichtrelativistischen Fall liegt, jedoch geht das einfache Bild einer einzigen richtungsunabhängigen Lichtgeschwindigkeit verloren. In den letzteren Erweiterungen wird die feste Geschwindigkeitseigenschaft auf Kosten variabler Richtungen bei jedem Schritt beibehalten.

Es gibt eindeutig keinen Grund, warum ähnliche mathematische Kuriositäten in höheren Dimensionen existieren sollten. Trotzdem versuchten die Menschen, einen höherdimensionalen Zähler entlang zweier verschiedener konkurrierender Linien zu finden. Beide bleiben höchst ergebnislos, um es großzügig auszudrücken.

Der offensichtlichste Grund, warum das Feynman-Schachbrett in höheren Dimensionen hart ist, besteht darin, dass die Dirac-Gleichung viele Komponenten hat und die einzelnen Spinorkomponenten keinen einfachen diskreten Eigenschaften eines Gitters zugeordnet werden können, wie beispielsweise der Richtung, in die sich das Teilchen im ersten Schritt bewegt. Die Tatsache, dass die Richtungsgeometrie auf einer Linie so einfach ist, ist der Grund, warum das Feynman-Schachbrett in 1 + 1-Dimension und nur in 1 + 1-Dimension als Buchhaltungsgerät für die Helizitätskomponenten usw. verwendet werden kann.

Außerdem enthalten die höherdimensionalen Gitter keine Linien, die sich „exakt mit Lichtgeschwindigkeit“ (45 Grad) in allgemeine Richtungen bewegen. Das unterscheidet sich auch von 1+1-Dimensionen, wo die Richtungen Südwest und Südost die einzigen beiden lichtähnlichen Richtungen sind. Diese einfache Tatsache macht es schwierig, eine relativistische Theorie von einem Teilchen zu erhalten, das sich auf einem Gitter bewegt.

Auf meiner Website gibt es ein interessantes Papier zu diesem Thema, das auf einem niedrigeren Niveau als andere geschrieben wurde .

Es stellt fest, dass es Probleme mit dem Teilchen in 3 Dimensionen gibt, das anscheinend mit einer Geschwindigkeit von mindestens superluminal ist$\sqrt{3}\;c$.

In der 1 + 1-dimensionalen Raumzeit können Sie den Operator aufteilen$d^{2}/dt^{2} - d^{2}/dx^{2}$ganz einfach zu einem Produkt:$(d/dt - d/dx)(d/dt + d/dx)$. Dies ist in höheren Dimensionen nicht möglich.