Warum kann man bei der Herleitung der Dirac-Gleichung αiαi\alpha^i- und ββ\beta-Matrizen annehmen?

Bei der Herleitung der Dirac-Gleichung geht man meist davon aus, dass man schreiben kann

E = a ⋅ P + β M .

Das folgert man dann, um zu haben E 2 = P 2 + M 2 es ist nötig dass:

1 2 ( a ich a J + a J a ich ) = δ ich J a ich β + β a ich = 0 β 2 = ICH ,

Danach sagt man meistens „deswegen a ich Und β müssen Matrizen sein. Nun, das ist IMHO aus folgenden Gründen wirklich seltsam:

  1. Wenn a Und β sind Matrizen, E ist eine Matrix, aber das wissen wir E muss eine Nummer sein.

  2. Auch wenn a ich sind Matrizen, a ist ein Vektor von Matrizen und mir ist nicht klar, was a ⋅ P wäre.

Ich verstehe diese Argumentation nicht wirklich. Was steckt dahinter? Warum können wir vermuten a ich Und β Matrizen wann E ist eine Zahl? Wie kann man all dies verstehen und etwas Intuition dahinter bekommen?

Physiker sind oft faul und schreiben E als Zahl, wenn sie meinen E ICH , Wo ICH steht für eine Identitätsmatrix der entsprechenden Dimension.
Es ist keine Faulheit, es ist nur eine natürliche, clevere Notation. Die Objekte auf beiden Seiten sind Operatoren und eine Multiplikation mit E 1 ist dasselbe wie die Multiplikation mit E .

Antworten (1)

1) Das Problem dabei ist, dass Ihre erste Gleichung sein sollte

H = a ⋅ P + β M
mit H der Hamiltonsche statt E . Nun sind die Energien die Eigenwerte von H , also die Eigenwerte einer Matrix. Da Eigenwerte nur Zahlen sind, funktioniert alles gut.
H Matrix. E der Eigenwert von  H , also eine Zahl.

2) a ⋅ P ist eine Kurzschreibweise für a X P X + a j P j + a z P z , also die Summe von drei Matrizen. Das Ergebnis ist ein 4 × 4 Matrix, das heißt, a ⋅ P ist eine Matrix.

Warum kann man bei der Herleitung der Dirac-Gleichung αiαi\alpha^i- und ββ\beta-Matrizen annehmen?
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