Quantisierung vs. kontinuierliche Energieniveaus

Die Quantisierung von Energieniveaus tritt sowohl in der Quanten- als auch in der klassischen Mechanik auf und ist keine Folge der Schrödinger-Gleichung. Es ist eine Folge der Gefangenschaft. Tatsächlich weist das System immer dann, wenn eine Wellengleichung (eine beliebige Quantengleichung für die Wellenfunktion oder eine klassische Gleichung für ein klassisches Feld, z. B. ein EM-Feld) periodische Randbedingungen in einigen räumlichen Variablen aufweist, quantisierte Energieniveaus auf.

Wie in der Frage und in anderen Antworten erwähnt, sind Energieniveaus in Quantensystemen nicht immer quantisiert. Andererseits weisen auch klassische Systeme eine Quantisierung der Energieniveaus auf. Betrachten Sie beispielsweise die zulässigen Frequenzen einer Saite mit fester Länge (Confinement), wie bei einer Gitarre oder Geige. In einer solchen Saite entsprechen die erlaubten "Energiezustände" Frequenzen (Harmonischen), die Vielfache einer Grundfrequenz (erste Harmonische) sind.

Im Quantenbereich werden Energieniveaus quantisiert, wenn die Wellenfunktion in einem endlichen Raum eingeschlossen ist, z. B. in einem Atomorbital oder in einem Quantentopf. In einem Festkörper sind Energieniveaus auch quantisiert, aber der Unterschied$\Delta$zwischen den Ebenen nimmt mit zunehmender Systemgröße ab. Daher werden diese quantisierten Energieniveaus im thermodynamischen Grenzfall (große Systemgrößen) zu einem Kontinuum von Zuständen, da$\Delta\rightarrow0$.

Betrachten wir als Beispiel eine ebene Welle

Technisch gesehen haben sowohl Feststoffe als auch Gase quantisierte Energieniveaus. Der Unterschied besteht darin, dass Moleküle eines Gases sehr schwach mit anderen Molekülen interagieren, sodass die bei der Emission oder Absorption einer Ansammlung von Gasmolekülen beobachteten Energieniveaus fast genau die gleichen sind wie die Energieniveaus, die bei einem einzelnen Gasmolekül beobachtet würden in Isolation. In Festkörpern interagieren die Atome oder Moleküle sehr stark, um das Absorptions- oder Emissionsspektrum vorherzusagen, muss man also gleichzeitig das gesamte System betrachten, das extrem nahe beieinander liegende Energieniveaus erzeugt (was immerhin Absichten und Zwecke, wird ununterscheidbar von kontinuierlich, wenn Sie in der Größenordnung von 10 ^ 23 Atomen oder Molekülen haben).

In der Quantenmechanik ist die Bewegungsgleichung die Schrödinger-Gleichung

Es gibt Beispiele für physikalische Systeme, die beide Verhaltensweisen aufweisen: Das Standardbeispiel eines diskreten Spektrums sind die Energieniveaus des Wasserstoffatoms in seinen normierbaren Zuständen. Andererseits sind Streuprobleme oft mit kontinuierlichen Spektren und nicht renormierbaren (zumindest in$L^2(\mathbb{R}^3)$) Lösungen.

Quantisierung ist eine experimentelle Tatsache, die Physiker dazu zwang, Theorien in Betracht zu ziehen, die die Daten erklären könnten. Dies geschah zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts.

1) Schwarzkörperstrahlung konnte nur erklärt werden, indem angenommen wurde, dass die Strahlung in Quanten kam, dh nicht in einem kontinuierlichen Spektrum.)

2) Der photoelektrische Effekt zeigte, dass sich Licht wie eine Ansammlung von Teilchen verhält, und sie wurden Photonen genannt

3) Atome statt kontinuierlicher Spektren hatten diskrete Spektren

Emissionsspektrum von Wasserstoff.

Anstelle eines kontinuierlichen Emissionsspektrums ergibt Wasserstoff diese deutlichen Linien. Alle Atome geben Spektren, die sie charakterisieren.

Somit ist die Quantisierung auf Atom- und Teilchenebene eine experimentelle Tatsache.

Zunächst versuchten Physiker das Spektrum von Wasserstoff mit einem planetaren Modell, dem Borh-Modell , unter Verwendung der klassischen Elektrodynamik zu erklären. Das Problem war ein zweifaches,

1) Die Umlaufbahnen waren instabil, die kleinste Störung würde das Elektron dazu bringen, auf den Kern zu fallen und kontinuierlich zu strahlen. Dies wurde gelöst, indem feste quantisierte Bahnen postuliert wurden.

2) obwohl das Spektrum des Wasserstoffatoms angepasst werden konnte, konnte die Verallgemeinerung auf die anderen Atome mit mehr Elektronen nicht erfolgreich funktionieren.

Mit der Schrödinger-Gleichung und den sie begleitenden Postulaten entstand die Quantenmechanik als Theorie und gilt heute als Grundgerüst aller Natur.

Die physikalische Theorie ist nun in der Lage, Spektren aller Arten von Atomen und mit gewisser Näherung auch aller Arten von Materie anzupassen, von fest über flüssig bis gasförmig.

1/2kx^2 ist das Potential in diesem einfachen Beispiel eines quantisierten Systems.

Die Elektronen im Potentialtopf der Atome/Moleküle/Festkörper befinden sich immer in quantisierten Ebenen, aber je näher die Energien an der 0 des Potentialtopfs liegen, desto dichter sind ihre Positionen und experimentell kann man sie nicht von einem Kontinuum unterscheiden. In Festkörpern gibt es kollektive Potentiale und die QM-Lösungen können eine Dichte von Energieniveaus ergeben, so dass Bänder gebildet werden, wo die Elektronen von allen Atomen/Molekülen des Festkörpers geteilt werden, wie in Metallen und Halbleitern.

Überall dort, wo Potentiale vorhanden sind, befinden sich die Elektronen mit einer Energie unterhalb des Potentials (Potentiale gehen von 0 bis zu negativen Werten der Bindungsenergie) im Prinzip in quantisierten Energieniveaus, obwohl die Dichte der Niveaus zusammen mit der Heisenberg-Unschärferelation tatsächlich ein Kontinuum darstellen kann . Für Elektronen, die frei sind (Energie über Null in Bezug auf das Potential), gibt es keine Quantisierung.

Der Unterschied zwischen der Nähe in Festkörpern und den Abständen in Gasen liegt darin, dass in Gasen die Atome/Moleküle frei sind, während in Festkörpern und Flüssigkeiten kollektive Bindungspotentiale existieren, die mehr Energieniveaus erzeugen als die atomaren/molekularen.

Wenn die Energieniveaus kontinuierlich sind (innerhalb eines bestimmten Energieintervalls), kann ein Teilchen (oder System) in diesem Intervall im Prinzip jede Energie haben. Wenn sie in sagen quantisiert werden$E_1,E_2...$, dann kann ein Teilchen (oder System) nur eine dieser Energien haben und nichts dazwischen.

Gebundene Zustände haben quantisierte Energien, während ungebundene Zustände kontinuierliche Energien haben. Dies kann verstanden werden, indem man zum Beispiel an den 1D unendlichen quadratischen Brunnen denkt. Sie können sich halbklassisch vorstellen, dass das Teilchen zwischen den Wänden des quadratischen Potentialtopfs „hin und her springt“. Bei den meisten Wellenlängen interferiert das reflektierte Teilchen mit sich selbst und nach vielen Hin- und Herbewegungen wird die Wellenfunktion überall auf Null gemittelt, was bedeutet, dass es keine Lösung gibt. Nur bei bestimmten bestimmten Wellenlängen (oder äquivalent Frequenzen), bei denen die Interferenz konstruktiv ist, ist die durchschnittliche Wellenfunktion ungleich Null – und diese bestimmten Frequenzen bilden das diskrete Energiespektrum des gebundenen Zustands.

Bei ungebundenen Zuständen gibt es kein "Hin- und Herspringen", die Eigeninterferenz eliminiert also keine Frequenzen, was zu einem kontinuierlichen Spektrum führt. Wie Travis in seiner Antwort betont, haben sowohl Gase als auch Feststoffe diskrete Energieniveaus (wenn Sie die kinetische Energie des Gases vernachlässigen), da beide gebundene Zustände sind. Der Festkörper hat jedoch eine so hohe Zustandsdichte, dass er als praktisch kontinuierlich angesehen werden kann.

Betrachten Sie einen Hamiltonoperator, der translationsinvariant ist. Zum Beispiel,

$H = \frac{ \hat{p}^2}{2m} = - \frac{1}{2m} \frac{ \partial^2}{\partial x^2}$.

Es gibt andere Optionen (jeden Hamiltonoperator, der den Operator nicht enthält$\hat{x}$Zum Beispiel). Ein solcher Hamiltonoperator bildet Quantenzustände, die bestimmten Impuls haben, also Eigenzustände des Operators sind$\hat{p} = -i \frac{ \partial}{\partial x}$. Wir können sagen, dass die Quantenzustände des Hamiltonoperators die freie Bewegung im Raum darstellen.

Eine entscheidende Eigenschaft dieser Zustände ist, dass sie unendlich ausgedehnt, dh nicht normierbar sind. Sie sind delokalisiert. Gleichzeitig ist das Energiespektrum kontinuierlich.

Betrachten Sie nun einen Hamiltonoperator, der aus einem translationsinvarianten Teil plus einem potentiellen Term besteht$V(x)$die im räumlichen Unendlichen verschwindet. Für einen solchen Hamiltonoperator wird es immer Lösungen geben, die weit entfernt vom Potential frei sind. Diese Zustände werden Streuzustände genannt: Sie haben ein kontinuierliches Energiespektrum. Diese Streuzustände sind nicht normierbar.

Derselbe Hamiltonoperator kann jedoch auch gebundene Zustände bilden. Ein gebundener Zustand zerfällt exponentiell außerhalb des Potentialbereichs und ist normalisierbar. Gebundene Zustände können nur bei diskreten Energien existieren – der Grund dafür ist, dass sie stehende Wellen sind und stehende Wellen eine Interferenzbedingung erfüllen müssen, die das Spektrum diskretisiert. Grob gesagt kann eine stehende Welle nur entstehen, wenn eine ganzzahlige Anzahl von Wellenlängen in die Umlaufbahn des Teilchens passt. Aber natürlich ist die wahre Geschichte viel komplexer. Es gibt einen Satz, der besagt, dass in einer Dimension, solange sich das Potential im Vergleich zur Wellenlänge des Teilchens langsam ändert, Sie gebundene Zustände bei Energien haben, bei denen die klassische Wirkung auftritt

$\oint{pdx} = 2\pi(n + \frac{1}{2})$.

(Dies wird als Bohr-Sommerfeld-Quantisierung bezeichnet). Die Ganzzahl$n$entspricht der Anzahl der Knoten in der Wellenfunktion.

Da die gebundenen Zustände exponentiell zerfallen, muss die Energie unterhalb des Kontinuums liegen – das bedeutet, dass die Energie negativ ist, wenn Ihr Potential im Unendlichen auf Null geht. Um dies zu sehen, wenden Sie den Hamilton-Operator an$(- \frac{1}{2m} \frac{ \partial^2}{\partial x^2} + V(x) )\psi = E \psi$und beachten Sie, dass in der Region, wo$V(x) \rightarrow 0$, können Sie den zweiten Term im Hamiltonoperator vernachlässigen. Wenn Sie mit der zweiten Ableitung auf eine beliebige reelle Exponentialfunktion einwirken, erhalten Sie nur dieselbe Funktion, multipliziert mit einem positiven Faktor, sodass das Gesamtzeichen negativ ist. Für Energien$E < 0$, haben Sie möglicherweise diskrete gebundene Zustände, wenn Ihr Potenzial sie unterstützt. Für Energien$E > 0$, haben Sie ein Kontinuum von Streuzuständen.

Was ist jetzt mit einem Feststoff? Ein Festkörper besteht aus einem ziemlich komplizierten Potential$V(x)$die außerhalb des Festkörpers verschwindet. Ihre Wellenfunktion ist also in einem Kasten eingeschlossen, der die Größe Ihres Festkörpers hat. Wenn Ihre Wellenfunktion außerhalb des Festkörpers exponentiell abfällt, entspricht sie quantisierten Energien$E_n$. Lassen Sie uns das Energiespektrum eines 1D-Partikels in einer Box berechnen, sagen wir mit einer Größe von 1 cm. Sie erhalten ein Spektrum

$E_n = \frac{ k_n^2}{2m}$Wo$k_n = \frac{ \pi n}{L}$.

Der Unterschied zwischen zwei Energieniveaus$E_n$Und$E_{n+1}$ist dann$E_{n+1}- E_n = \frac{ \pi^2}{2mL^2} ( (n+1)^2 - n^2) = \frac{\pi^2}{2mL^2} (2n+1)$. Wenn man dann ein periodisches Potential aufprägt, entsteht zB ein Ionengitter mit Ionen im Abstand$a$auseinander, der maximale Wert von$n$wird sein

$N= \frac{L}{a}$.

Beachten Sie, dass für einen echten Feststoff$a$ist typischerweise ein paar Angström, was ist$10^{-8}$cm. Daher$N \approx 10^8$, das ist eine riesige Zahl. Der Abstand zwischen den Energieniveaus ist maximal$\frac{ \pi^2}{2mL^2} ( \frac{ 2L}{a}) = \frac{ \pi^2}{mLa}$. Gleichzeitig ist die maximale Energie$E_{max} = \frac{k_N^2}{2m} = \frac{\pi^2}{2m} \frac{L^2}{a^2}$. Die Quantenzustände bilden eine diskrete Menge von Punkten mit Energie dazwischen$0$Und$E_{max}$.$E_{max}$heißt Bandbreite. Das Verhältnis der Aufteilung zur Bandbreite ist

$\frac{2a}{L} \approx 10^{-8}$

Obwohl es ein diskretes Spektrum gibt, ist der Energieabstand zwischen den Zuständen so gering, dass er im Grunde ein Kontinuum bildet.