Was passiert mit einem Elektron, wenn ihm quantisierte Energie gegeben wird, um auf eine volle Umlaufbahn zu springen?

Überblick

Übergänge in andere unbesetzte Zustände sind möglich, aber extrem unwahrscheinlich, eher wird das Photon nicht absorbiert.

Einführung

Das Pauli-Ausschlussprinzip verhindert die Besetzung durch ein drittes Elektron$2s$Zustand. Auch wenn Platz drin wäre$2s$Zustand a$1s\to 2s$der Übergang aufgrund von Auswahlregeln unwahrscheinlich ist und a$1s\to2p$Der Übergang ist deutlich wahrscheinlicher, wenn Platz in der vorhanden ist$2p$orbital.

Andere Antworten hier haben angegeben, dass der Übergang zu anderen Energieniveaus verboten ist. Nun, während die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs extrem klein ist, ist sie ungleich Null.

Eine kurze Anmerkung zur Notation: Ich werde eine fette Schriftart für Vektoren verwenden, im Gegensatz zu einem Überpfeil, damit Vektoroperatoren klarer sind.

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Die minimale Kopplung des Elektrons an das elektromagnetische Feld unter Verwendung des Coulomb-Potentials fügt eine Störung hinzu von:

zum Hamiltonian. Wo$e$Und$m_e$sind Ladung und Masse des Elektrons,$\hat{\boldsymbol p}$ist der auf das Elektron wirkende Impulsoperator und der Vektorpotentialoperator hat die Form:

Wo$\text{h.c.}$ist das hermitesch Konjugierte der vorhergehenden Terme,$v$ist das Volumen des Hohlraums, in dem das Experiment stattfindet;$\omega\left(\boldsymbol k\right)$ist die Kreisfrequenz des Photonenmodus als Funktion des Wellenvektors$\boldsymbol k$;$\lambda$beschriftet die beiden Polarisationen;$\boldsymbol s_\lambda\left(\boldsymbol k\right)$der Polarisationsvektor des Modus ist;$\hat a_\lambda\left(\boldsymbol k\right)$der Vernichtungsoperator für den Modus ist; Und$\boldsymbol r$ist die Position des Atoms (unter der Annahme, dass die Wellenlänge größer als die des Atoms ist, kann die Unsicherheit in der Position des Elektrons ignoriert werden).

Wenn wir eine einzige Wellenlänge und Polarisation haben, dann:

Lassen Sie also:

Verwenden Sie dann die zeitabhängige Störungstheorie erster Ordnung, die im Grenzwert gilt$\frac{t}{\hbar}\left|\langle f|\hat V|i\rangle\right|\ll1$für alle$n\ge2$. Wir finden die Wahrscheinlichkeit, dass ein Übergang stattgefunden hat, wenn das Atom nach einer Zeit gemessen wird$t$seit dem Anlegen des elektromagnetischen Feldes ist:

Wo$\Delta E=\hbar \Delta \omega$sei der Unterschied in den Energieniveaus der Initiale$|i\rangle$und endgültig$|f\rangle$Zustände. Dies ist im Allgemeinen ungleich Null, selbst wenn$\Delta \omega\ne\omega$. Wir können jedoch eine weitere Annäherung vornehmen, um das Verständnis zu erleichtern: Wenn der Endzustand$|f\rangle$hat dann im Grenzbereich ein Photon absorbiert$t\Delta\omega\gg2\pi$Die$\operatorname{sinc}$Funktionen überlappen sich nicht und wir brauchen nur den Absorptionsterm beizubehalten:

Weitere Annäherungen von hier aus geben Ihnen die Goldene Regel von Fermi, eine dieser Annäherungen nimmt die Grenze so, dass$t\operatorname{sinc}^2$tendiert zu einer Delta-Funktion und beseitigt so die Möglichkeit für einen Übergang, wenn die Energie des Photons nicht genau gleich der Energielücke ist: und daher ist dies in diesem Fall eine unangemessene Annäherung.

Energieerhaltung in der Quantenmechanik

Während der Erwartungswert der Energie bei der Entwicklung eines Systems, wie durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben, erhalten bleibt, kann es bei einer Messung zu einem unstetigen Sprung der Energie des Systems kommen. Stellen Sie sich ein System in einer Überlagerung von Energieeigenzuständen vor, wenn Sie die Energie messen, kollabiert der Zustand in einen Energieeigenzustand, der im Allgemeinen nicht die gleiche Energie wie der Erwartungswert für die Energie hat - die Energie des Systems hat zugenommen oder abgenommen!

Die Energie kann zur Kompensation zu oder von der Messvorrichtung oder der Umgebung übertragen werden.

In früheren Überarbeitungen enthielt dieser Abschnitt auch eine Diskussion über die Vielwort-Interpretation, die ich in meiner Naivität eingefügt habe. Ich entschuldige mich für jeden, den ich in die Irre geführt habe, und für weitere Details können Sie diese Frage sehen:

"Energieerhaltung oder deren Fehlen" in der Quantenmechanik

Die Antwort von @ Jägerber48 ist für diese Frage am relevantesten und enthält zusätzliche Details, die wahrscheinlich für jeden Leser dieser Frage von Interesse sein werden.
Die Antwort von @benrg gibt eine gute Erklärung dafür, warum Energie eingespart wird.
Der Kommentar von @NiharKarve enthält einen Blogbeitrag, der erklärt, warum das Papier möglicherweise irreführend ist.

Setzen Sie dies alles zusammen

Gleichung (1) zeigt im Allgemeinen, dass, wenn ein Atom mit Licht einer einzigen spezifischen Wellenlänge und Polarisation beleuchtet wird, ein Übergang möglich ist, selbst wenn die Energie der Photonen nicht gleich der Energielücke ist, was die Energieerhaltung verletzen würde ( aber das ist erlaubt); die Wahrscheinlichkeit ist jedoch äußerst gering.

Gleichung (2) macht eine weitere Annäherung, mit der wir nun einen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit finden können:

Als$|i\rangle\equiv|i\rangle_e|f\rangle_{EM}$Und$|f\rangle_e|f\rangle_{EM}$wo tiefgestellt$e$ist die Elektronenzustände und der Index$EM$sind die Zustände des elektromagnetischen Feldes. Ohne Einzelheiten$_e\langle f|\hat{\boldsymbol {p}}\cdot\boldsymbol s|i\rangle_e\equiv\boldsymbol d_{fi}\cdot\boldsymbol s$Wo$\left\{\boldsymbol d_{fi}\right\}$sind die Dipolmatrixelemente und sind für Übergänge zwischen bestimmten Orbitalen unabhängig von der zugeführten Energie null (näheres siehe Auswahlregeln ). Endlich,$_{EM}\langle f|\hat a|i\rangle_{EM}=\sqrt{N}$wenn der Staat$|i\rangle_{EM}$ist der Staat für$N$Photonen der gegebenen Wellenlänge und Polarisation - aber auch andere Zustände wie kohärente Zustände sind möglich.

was im Grenzwert gilt:

Als Grenze$t\Delta\omega\gg2\pi$wird nicht benötigt, wenn der Staat$|i\rangle_{EM}$ist der Staat für$N$Photonen der gegebenen Wellenlänge und Polarisation, weil der Erzeugungsoperator den Emissionsterm sowieso verschwinden lässt. Allerdings ist die Zeit in der Größenordnung von$10^{-25}\text{s}$geben oder nehmen Sie ein paar Größenordnungen für Neon (erhalten unter Verwendung der einzigen Daten, die ich für reduzierte Matrixelemente für Dipolübergänge finden konnte), was keine praktische Zeitskala zum Messen ist.

Schließlich, unter Berücksichtigung Ihres gegebenen Falls, gegebener Auswahlregeln, der wahrscheinlichste Fall, wenn der$1s$Elektron hat ein Photon absorbiert, ist ein Übergang zum$3p$Zustand (als$2p$ist besetzt u$3s$ist die Erstbestellung durch Auswahlregeln verboten). Das Einsetzen von Werten in Gleichung (3) ergibt eine Größenordnungsschätzung für die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von$1s$Zu$3p$im Neon von$10^{-12}\%\text{ per }\left(\text{photon }m^{-3}\right)$für$t=10^{-25}\text{s}$An diesem Punkt bricht die Annäherung der Störung erster Ordnung zusammen.

Es gibt bereits einige gute Antworten, aber ich wollte noch einen wichtigen Punkt betonen: Es gibt tatsächlich keine individuellen Orbitalenergien in einem Atom mit mehreren Elektronen. Es macht also nicht einmal Sinn, über den Energieunterschied zu sprechen.$\Delta E$zwischen$1s$Und$2s$." Die Energie ist der Eigenwert des Hamiltonoperators für das gesamte System wechselwirkender Elektronen.

Die Gesamtenergie beinhaltet die Elektron-Elektron-Abstoßung. Über die Modifikationen des Potentials hinaus, die jedes einzelne Elektron spürt, gibt es auch subtilere Effekte wie Austauschenergien, die durch das Zusammenspiel der Elektron-Elektron-Abstoßung mit dem Pauli-Ausschlussprinzip verursacht werden (obwohl die Austauschenergien nicht so wichtig sind, wenn die Elektronenschalen gefüllt sind). Im Allgemeinen können diese Energieterme nicht einzelnen Elektronen zugeordnet werden – obwohl Näherungen (wie die Hartree-Näherung), die jedem einzelnen Elektron eine „Energie“ zuweisen, unter den richtigen Umständen äußerst genau sein können.

Auf konzeptioneller Ebene stellt sich jedoch die Frage, was passiert, wenn die dem Atom zugeführte Energie genau die ist$\Delta E$zwischen den$1s^{2}2s^{2}2p^{6}$Staat und die$1s^{1}2s^{3}2p^{6}$Zustand – außer dass der letztere Zustand nicht existiert , wodurch diese Größe undefiniert wird. Dies ist tatsächlich ein echtes praktisches Problem für experimentelle Tests des Pauli-Ausschlussprinzips, die nach Übergängen zu Zuständen mit überfüllten Elektronenorbitalen suchen, da wir keine zuverlässige Methode zur Berechnung der Energien der überfüllten Orbitalzustände haben und uns auf einige ziemlich grobe verlassen müssen Annäherungen.

Nichts passiert.

Die goldene Fermi-Regel besagt, dass in erster Näherung die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Anfangszustand$|i\rangle$Zu$|f\rangle$Ist:

Wenn der Übergang durch die Auswahlregeln erlaubt ist, ist das Matrixelement ungleich Null. Aber wenn die Zielschale voll ist, die Dichte der Endzustände$\rho(E_f)$Null ist (es sind keine Endzustände verfügbar). Die Übergangsrate ist also null.

Ein Übergang von$1s^2 2s^2 2p^6 \rightarrow 1s^1 2s^3 2p^6$ist verboten, da es im antisymmetrischen Hilbert-Raum von 10 Photonen aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips keinen solchen angeregten Zustand gibt.

Wenn das Photon Energie hat$\Delta E$entspricht der Energiedifferenz zwischen$1s$Und$2s$dann ist es wahrscheinlich weit von anderen Übergängen verstimmt. Wenn wir alle möglichen anderen angeregten Zustände vernachlässigen, würde in dieser Situation absolut nichts passieren. Das Atom würde einfach vorbeiziehen.

Betrachten wir jedoch andere Staaten, wie z$1s^1 2s^2 2p^6 3p^1$, können wir nun auf die Antwort von @Chris Long verweisen. Obwohl das Photon wahrscheinlich sehr weit von diesem Übergang verstimmt ist, besteht immer noch eine kleine Wahrscheinlichkeit, dass der Übergang angetrieben wird. Die gleiche Aussage gilt für eine Reihe anderer elektronischer Energiezustände. Diese Übergänge werden alle außerresonant angesteuert, so dass die Übergangswahrscheinlichkeit sehr klein ist.

Aber in jedem Fall geht das Atom von einem reinen Grundzustand zu einem überwiegenden Grundzustand mit kleinen Überlagerungskomponenten verschiedener angeregter Zustände über. Diese kleinen Überlagerungskomponenten tragen dazu bei, dass sich die Form der gesamten Elektronenwellenfunktion leicht ändert. Je weiter wir verstimmt sind, desto geringer wird die Formänderung. Normalerweise wird dieser Effekt vernachlässigt, aber ich spreche ihn hier an, weil er uns erlaubt, unsere Intuition wiederzuerlangen, dass ETWAS passieren sollte, wenn das elektrische Feld des Photons das Atom passiert.

Zu sagen "nichts passiert" ist auf der gleichen Annäherungsebene richtig, wie es richtig ist, dass "ein harmonischer Oszillator, der weit von der Resonanz entfernt ist, keine Bewegung erfährt".

Bearbeiten: Wie @Ruslan betont, ist was wahrscheinlicher als ein Übergang in einen Zustand mit höherer Energiebindung wie z$1s^12s^22p^6e3p^1$ist der Übergang in einen ionisierten Zustand wie z$1s^12s^22p^6$wo ein Elektron an das Kontinuum verloren geht. Siehe Bild:

Der$1s\rightarrow 2s$Photon in Wasserstoff ist 10 eV. Wenn statt a$1s$Elektron absorbiert das Photon, eines der$2s$oder$2p$Elektronen das Photon absorbieren, dann erhalten diese Elektronen eine Energie von ~20 eV, die die Ionisationsschwelle von 13,6 eV überschreitet.

In diesem Fall entwickelt sich das System also vom Grundzustand zu einer Überlagerung von Grundzustand, ionisierten Zuständen und (einer sehr kleinen Komponente von) angeregten gebundenen Zuständen. Es ist erwähnenswert, dass, während der Beitrag des angeregten gebundenen Zustands wegen der großen Verstimmung klein sein wird, die Wahrscheinlichkeit einer Ionisierung tatsächlich groß sein kann.

Aufgrund des Ausschlussprinzips von Pauli entspricht die angegebene Energie jedoch der Energielücke zwischen$1s$Und$2s$, es gibt keinen Endzustand wie in$2s$aus dem Übergang möglich, daher ist dieser bestimmte Übergang aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips VERBOTEN und es passiert nichts im Kontext dieses bestimmten Übergangs.

NOTIZ:

1. Beachten Sie, dass ich mir die Freiheit genommen habe, „entspricht“ anstelle von „exakte Energiedifferenz“ zu verwenden. Obwohl die theoretische Bereitstellung einer genauen Energie zu einem Übergang geführt hätte (unter der Annahme einer Situation, in der$2s$ist leer), in der Praxis gibt es viele Phänomene, die diese Energie unterschiedlich erweitern, also soll "entspricht" auch dem Rechnung tragen.

2. Obwohl der Übergang für ein Elektron bei$1s$Zu$2s$nicht möglich ist, sollte daran erinnert werden, dass es andere Übergänge geben kann, die nicht verboten sind, die stattfinden können, sagen wir, ein Elektron in der äußeren Hülle wird in einen höheren Zustand angeregt.

Um Ruslans Kommentar zu untermauern und zu versuchen, die Frage ohne zu viel Bezug auf die volle Quantenkomplexität zu beantworten, ist die fragliche Energie die Kα-Energie, 848,6 eV. Wenn Sie in einem Experiment Neon mit Photonen dieser Energie beleuchten, sehen Sie Ionisation. Die Ionisationsenergie beträgt nur 21,6 eV. Es gibt kein spektroskopisches Absorptionsmerkmal bei der Kα-Energie, was zeigt, dass das Atom in seinem Grundzustand keine besondere Tendenz hat, durch diese Energie angeregt zu werden. Die Energieabsorption steigt über die K-Kantenenergie von 870 eV an, wenn Sie genug Energie haben, um ein Elektron der K-Schale zu entfernen.