Warum nehmen Elektronen diskrete Energiezustände ein?

Lassen$E = KE +U$sei die Gesamtenergie. Wir kennen den Impulsoperator und den Gesamtenergieoperator

$$\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \\\\\\\\\\\\ \hat{E} = i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}$$ . Das veranlasst uns zu schreiben $$\hat{E} = \hat{KE} + \hat{U} \implies \hat{E} = \dfrac{\hat{p}^2}{2m} + U \implies \hat{E} = i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} = - \dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} +U$$ Dieser spezielle Operator ist der Hamilton-Operator $\hat{H}$.

Die stationäre Schrödinger-Gleichung ist gegeben durch:

$$\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \dfrac{2m}{\hbar^2} (E - U)\psi = 0$$ . Um die Gleichung zu lösen, müssen "Randbedingungen" erfüllt werden, die die Werte von einschränken $E$die nur die Gleichung erfüllen. Dies wird in dieser Form der Gleichung deutlicher $\hat{H} \psi_n = E_n \psi_n$. Für jeden hart $\psi$, muss es einen entsprechenden Eigenwert der Energie geben. Es gibt also nur bestimmte Energiezustände, was für bestimmte „Randbedingungen“ gilt $^1$".

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$^1$Nehmen wir das berühmte Particle-in-a-Box- Problem.

Hier sind die Randbedingungen, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen außerhalb der Box zu finden, liegt$0$dh$\psi = 0$für$x \leq 0 \quad \& \quad x \geq L$;$L$Länge der Box sein. . Wenn Sie die Gleichung mit dieser Bedingung lösen

$$\psi = A\sin\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x$$ ; unter Verwendung der Bedingung wird gefolgert, dass $\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar} L = n\pi$die schließlich die Energie liefert $E = \dfrac{n^2\pi^2 \hbar^2}{2ml^2} \qquad n=1,2,3\cdots$. Sie können also sehen, dass Energie nur bestimmte Werte annehmen kann, um die „Randbedingungen“ zu erfüllen.

Ein Elektron in einem Atom befindet sich in einem gebundenen Zustand. Da es sich um ein begrenztes Teilchen handelt, kann das Problem mit Teilchen in einem eindimensionalen Potentialkasten analysiert werden. Betrachten Sie ein eindimensionales Kristallgitter mit Gitterkonstante$L$. Wir nehmen an, dass sich das Teilchen innerhalb dieser Entfernung frei bewegen kann und nicht nach außen gelangen kann. Wir haben also zwei potentielle Barrieren, die an den Punkten gegen Unendlich streben$x=0$Und$x=L$wie in der Abbildung gezeigt. Dieses unendliche Potential ist zu erwähnen, dass das Elektron in dieser Region gut eingeschlossen ist und nicht nach außen gelangen kann.

Innerhalb der Region ist die potentielle Energie null und außerhalb unendlich. Wir können also das Potenzial definieren als

$$V(x)=0\space for\space 0<x<L;\space V(x)=\infty \space for\space x<0, \space x>L$$

Nun definieren wir die Wellenfunktion eines Elektrons als Funktion des Abstands$\psi(x)$. Dann kann die Schrödinger-Gleichung geschrieben werden als

$$\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2}+\frac{2mE}{\bar h^2}\psi(x)=0$$

Wir nehmen an, dass die allgemeine Lösung die Form hat:

$$\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$$

Wo$A$Und$B$sind beliebige Konstanten, die aus den Randbedingungen zu bestimmen sind.

Jetzt wenden wir die Randbedingungen an:

Bei$x=0$, die Potentialbarriere ist unendlich. Damit verschwindet die Wellenfunktion bei$x=0$da die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu finden, gleich null ist. Auch das Elektron kann bei nicht vorhanden sein$x=L$und damit verschwindet auch dort die Wellenfunktion. Wir haben bereits erwähnt, dass sich das Elektron nur zwischen den Gitterpunkten bewegen darf. Die Wellenfunktion ist also im Bereich 0 lokalisiert

$$\psi(x=0)=0; \space \psi(x=L)=0$$

Die erste Randbedingung liefert uns die Konstante$B=0$. Also müssen wir den Wert von finden$A$nur. Die zweite Randbedingung ergibt$A\sin kL=0$. Aber$A\neq 0$denn dies wird uns nichts bringen. Somit

$$\sin kL=0$$

was gibt$\displaystyle{kL=n\pi\Rightarrow k=\frac{n\pi}{L}}$

Wo$n=1,2,3,\cdots$.$n\neq 0$seit$n=0$($k=0$) bedeutet die Wellenfunktion$\psi(x)=0$überall in der Kiste und wir sind den ganzen Weg umsonst gekommen. So$n$kann nur positive ganze Zahlen haben.

Außerdem ist anzumerken, dass die Fortpflanzungskonstante ganzzahlige Werte hat, die unterschiedlichen Werten von entsprechen$n$. Daher hat die Wellenfunktion auch ganzzahlige Werte, die durch gegeben sind

$$\psi_n(x)=A\sin \frac{n\pi x}{L};\space\space\space 0<x<L$$ .

Unser Elektron ist innerhalb der Region gut eingeschlossen$0<x<a$. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, in diesem Bereich ein Elektron zu finden, 1. Dies wird Normalisierung der Wellenfunktion genannt, was uns den Wert von geben wird$A$.

$$\int_0^a |\psi_n|^2 dx=1$$

oder

$$A^2\int_0^a sin^2 \left(\frac{n\pi x}{L} \right) dx=1$$ .

Bei der Integration erhalten wir

$$A=\sqrt{\frac{2}{L}}$$

So wird die normalisierte Wellenfunktion

$${\color{green}{\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}} };\space\space\space 0<x<L$$ .

Und$n=1,2,3,\cdots$

Wenn wir nun diesen Wert verwenden und ihn in die Schrödinger-Gleichung einsetzen, erhalten wir den Wert der Energie des Elektrons, der der Wellenfunktion entspricht$\psi_n(x)$.

Daher,

$${\color{blue}{E_n=\frac{h^2n^2}{8mL^2}} } ;\space \space \space n=1,2,3,\cdots$$

Somit haben wir die Elektronenenergieniveaus quantisiert. Die Energieniveaus sind also diskret und nicht kontinuierlich, wie es aus klassischer Sicht erwartet wird.

Das niedrigste mögliche Energieniveau ist

$$E_1=\frac{h^2}{8mL^2}$$ .

Aus der obigen Energiegleichung geht das klar hervor

$$E_n=n^2E_1$$

Dies bedeutet, dass der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Energieniveaus zunimmt

$$(n+1)^2E_1-n^2E_1=(2n+1)E_1$$

Das Energieniveaudiagramm sieht also so aus

Wie die klassische Mechanik sagt, kann es also keinen kontinuierlichen Bereich von Energieniveaus oder -bändern geben. Wenn jedoch das Teilchen schwerer wird und die Länge des Kristalls sehr groß ist, liegen die Energieniveaus sehr nahe beieinander und können schließlich kontinuierlich werden. zum Beispiel wenn$L=1cm$, Dann

$$E_n-E_{(n\pm 1)}\sim 3.5\times 10^{-19} eV$$

Das Energiespektrum für solche Fälle scheint praktisch kontinuierlich zu sein. Die Wellengleichung sagt also voraus, dass den gebundenen Teilchen (Elektronen) ein diskretes Energiespektrum und den freien Teilchen ein kontinuierliches Spektrum zugeordnet ist.

Ein Elektron ist ein quantenmechanisches Teilchen und muss daher quantenmechanischen Prinzipien gehorchen. Diskretion ist eine Spezialität der Quantenmechanik, die allmählich als Kontinuum erscheint, wie wir es in unserem täglichen Leben sehen. Dies ist die Essenz von Bohrs Korrespondenzprinzip, das besagt, dass die Quantenmechanik an der Grenze großer Quantenzahlen allmählich zur klassischen Mechanik reduziert wird.

Warum kann es in einem Atom kein kontinuierliches Energieband geben?

Dies ist der Hauptgrund, warum die Quantenmechanik erfunden werden musste.

Sobald die Existenz positiver und negativer Ladungen entdeckt wurde, sind die Maxwell-Gleichungen, wenn sie für ein Planetenmodell einer zentralen positiven Ladung und einer umlaufenden negativen Ladung gelöst werden, im Gegensatz zum Gravitationsproblem völlig instabil. Dies liegt daran, dass beschleunigte Ladungen elektromagnetische Strahlung abstrahlen und dabei Energie verlieren. Ein umkreisendes Elektron im Feld eines Kerns wird kontinuierlich Energie abstrahlen und auf den Kern fallen, soweit ein klassisches Modell geht.

Dies bedeutet, dass Atome eine Suppe aus positiven und negativen Ladungen wären und wenn ein Elektron auf ein Ion fällt, würde ein kontinuierliches Spektrum beobachtet werden.

Dies wurde nicht beobachtet. Wasserstoffatome hatten ein ausgeprägtes elektromagnetisches Spektrum, das aus Linien bestand, die mathematisch sehr gut durch die Balmer- und Lyman-Reihen angepasst werden konnten.

Deshalb wurde das Bohr- Modell, ein Planetenmodell des Wasserstoffatoms, vorgeschlagen, das stabile, quantisierte Umlaufbahnen erzwingt und die auftretenden Reihen experimentell ableiten könnte.

Danach kamen die Schrödinger-Gleichung und die Quantenmechanik, die ein theoretisches Modell lieferten, das die Natur im Mikrokosmos beschreibt und die Grundlage aller klassischen Theorien ist.