Variationsprinzip Quantenmechanik: Die Versuchswellenfunktion wird nicht durch die Basis von Eigenfunktionen ausgedrückt

Ich lerne etwas über die Variationsmethode zur Lösung quantenmechanischer Probleme. Das Prinzip ist, dass Eigenfunktionen den Erwartungswert des Hamilton-Operators für diesen Zustand minimieren (vorausgesetzt Ψ ist normalisiert):

E 1 ≤ ⟨ Ψ | H | Ψ ⟩ ,

mit Gleichheitsbedeutung Ψ = Ψ 1 . Die nächsten Eigenzustände werden sequentiell gefunden, indem dies notiert wird E N wird immer noch ein lokales Minimum sein und Ψ N orthogonal zu allen zuvor gefundenen Eigenzuständen sein.

Der Professor hat die Herleitung für gemacht E 1 im Unterricht. Sein Argument war: Ψ N bildet die Grundlage für jede Probelösung Ψ . Mit dem Fourier-Trick können wir also eine Erweiterung für finden Ψ in der Grundlage Ψ N mit Koeffizienten B N . Dann ist der Energieerwartungswert für den Versuch

| E | = ∑ | B N | 2 E N .

Ganz klar der kleinste E N Ist E 1 , also der kleinste | E | Ist E 1 , und die Koeffizienten sind | B 1 | = 1 Und | B N | = 0 für alle anderen N .

Aber was passiert, wenn ich eine Versuchswellenfunktion nehme, die nicht in dieser Basis ausgedrückt werden kann? Nehmen wir zum Beispiel an, ich habe einen quadratischen Brunnen aus 0 Zu L und ich habe eine Textfunktion, die normalisiert ist, aber an einer Stelle ungleich Null ist X > L . Offensichtlich ist dies eine dumme Testfunktion und keine mögliche Lösung. werde ich nicht finden können | E | um zu prüfen, ob die Funktion minimiert ist. Aber welcher Teil der obigen Mathematik wird zusammenbrechen? Wo sagt zum Beispiel das Variationsprinzip, dass die Testfunktion nicht nur normalisierbar ist, sondern auch in quantenmechanisch verbotenen Bereichen Null sein muss?

Antworten (1)

Die Ableitung des Professors zeigt, dass jede Versuchslösung eine Energie hat, die größer ist als die Grundzustandsenergie, die dem Eigenzustand mit der niedrigsten Energie entspricht. Aber die Tatsache, dass die Grundzustandsenergie niedriger ist als jede Versuchsfunktion, kann sogar als Definition behandelt werden. Wenn es eine niedrigste Energie und eine niedrigste Energiewellenfunktion gibt, liefern natürlich alle anderen Wellenfunktionen eine obere Grenze für diese niedrigste Energie.

Ziel ist es, viele Versuchslösungen auszuprobieren, um der Grundzustandsenergie näher zu kommen. Jede Versuchslösung stellt eine Obergrenze bereit.

Ausprobieren einer beliebigen Testwellenfunktion, die wann ungleich Null ist v = ∞ fügt unerwünschte Energie hinzu. Bei der Variationsmethode bevorzugen Sie einfach eine Testfunktion mit niedrigerer Energie, die Sie immer erreichen können, indem Sie diesen Teil der Testwellenfunktion an eine Stelle verschieben, an der v ist endlich.

Die Herleitung des Professors brach zusammen, weil Sie eine unendliche Energiewellenfunktion betrachteten. Das Variationsprinzip verhindert Nicht-Null v = ∞ Testfunktionen, weil (wie Sie darauf hingewiesen haben) solche Funktionen offensichtlich unproduktiv wären, um Obergrenzen für den Grundenergiezustand zu bilden.

Es gibt zwei Betrachtungsweisen. Einer ist zu sagen, dass der Grund dafür, dass die Wellenfunktion außerhalb der Region verschwinden muss, darin besteht, dass das Potenzial dort unendlich ist. In diesem Fall schlägt Ihr Versuch eindeutig fehl, die Energie zu minimieren, weil sie unendliche Energie hat. Alternativ kann man per Fiat erklären, dass das Universum des Problems nur die Region ist und es daher keinen Sinn macht, eine Wellenfunktion außerhalb dieser Region zu haben. Wenn Sie einen diskreten Punkt wünschen, an dem die Mathematik zusammenbricht, können Sie sagen, dass der Hamilton-Operator in diesem Bereich undefiniert ist, sodass er bei der Auswertung der Wellenfunktion fehlschlägt.
Variationsprinzip Quantenmechanik: Die Versuchswellenfunktion wird nicht durch die Basis von Eigenfunktionen ausgedrückt
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