Warum kann eine ebene Wellenfunktion als Strahl und nicht als einzelnes Teilchen betrachtet werden?

Mein Professor sagt mir, dass die folgende Wellenfunktion nicht normalisiert werden kann, also kein Teilchen darstellt.

ψ ( X ) = A e ich k X

Er fährt jedoch fort, dass die Wellenfunktion unter Verwendung von Fourier-Reihen als Teilchenstrahl angesehen werden kann. Ich verstehe jedoch nicht, wie dies überhaupt möglich ist, und fragte mich, ob jemand vielleicht eine Art Beweis liefern könnte?

Vielleicht meint Ihr Professor, dass die Wellenfunktion, die die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die Beobachtung eines Teilchens darstellt, normalisiert werden muss. Andernfalls kann es nicht die richtige Wahrscheinlichkeitsinterpretation liefern. Man kann eine solche Wellenfunktion als Spektrum ebener Wellen darstellen.

Antworten (1)

Hier gibt es eine ziemlich gute Diskussion über den Fall der freien Partikel . Ich gehe davon aus, dass du das gezeigt hast ψ ist nicht normalisierbar.

Warum tut ψ nicht normalisierbar bedeutet, dass es kein Teilchen darstellen kann? Nun, das stellt eine ebene Welle mit überall konstanter Amplitude dar (nur die Phase ändert sich). Da die Amplitude der Wellenfunktion Auskunft über die Wahrscheinlichkeit gibt, ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, kann man sich das so vorstellen, dass das Teilchen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit irgendwo im Universum ist, was nicht wirklich unserer Vorstellung entspricht eines Teilchens. In rein mathematischer Hinsicht beschränken wir uns normalerweise auf Lösungen der Schrödinger-Gleichung, die quadratintegrierbar sind, was diese Lösung nicht ist. Dies bedeutet, dass diese Lösung nicht Teil unseres Hilbert-Raums ist. Warum passiert das? Beachten Sie, dass ψ hat eine Single k -Komponente, die dem Impuls entspricht. Daher hat es einen unendlich scharfen Impuls (sein Impuls ist genau k ) und damit eine unendlich verschmierte Position durch die Heisenbergsche Unschärferelation.

Das bedeutet jedoch nicht, dass diese Lösung nicht wichtig ist! Die Schrödinger-Gleichung ist eine lineare Differentialgleichung, es gilt also das Superpositionsprinzip. Das bedeutet, wenn ψ 1 erfüllt die Schrödinger-Gleichung und ψ 2 erfüllt dann die Schrödinger-Gleichung ψ 1 + ψ 2 wird auch die Schrödinger-Gleichung erfüllen!

Warum ist das wichtig? Nun, wir können normalisierbare Lösungen bauen, indem wir lineare Kombinationen freier Teilchen, die sogenannten Wellenpakete, nehmen. Nehmen wir eine Funktion F ( k ) was beschreibt, wie unsere Amplituden schwanken k . Dies entspricht der Aufnahme mehrerer Momentum-Komponenten, z. B. der Einführung einer gewissen „Spreizung“ des Momentum-Werts. Bilden Sie dann eine lineare Überlagerung als:

ψ 3 ( X ) = A ∫ − ∞ ∞ D k   F ( k ) e ich k X
Dies wird als Wellenpaketlösung bezeichnet. Beachten Sie, dass dies eine lineare Lösung der Schrödinger-Gleichung ist (stellen Sie sich das Integral als unendliche Summe vor). Für eine geeignete Auswahl von F ( k ) , ψ 3 kann normalisiert werden! Im Wesentlichen summieren Sie mehrere Teilchen mit unterschiedlichem Impuls k , was Ihr Professor mit einem "Strahl" von Teilchen meint. Wenn Sie es physikalisch betrachten wollen, dann machen wir die Wellenfunktion weniger lokalisiert im Impuls und erreichen dadurch eine stärkere Lokalisierung in der Position.

Wie hängt das mit Fourier-Reihen zusammen? Nun, beachte das ψ 3 ( X ) oben ist (bis auf konstante Faktoren) nichts anderes als die Fourier-Transformierte der Funktion F ( k ) . Dies ist nützlich, sobald Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung gelöst haben, da die Lösung freier Teilchen die einfachstmögliche Zeitentwicklung hat und jeder vernünftige Anfangszustand des Systems Fourier-transformiert werden kann. Eine Möglichkeit, die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik zu erhalten, besteht also darin, die anfängliche Wellenfunktion einer Fourier-Transformation zu unterziehen und die Zeitentwicklung hinzuzufügen. Dies entspricht der Methode der Variablentrennung zum Lösen von PDEs.

Es gibt natürlich noch andere Möglichkeiten, die Freipartikellösung zu fixieren. Eine besteht darin, zu fordern, dass das System in einer (beliebig großen) endlichen Box lebt. Dann ist die Lösung normalisierbar und lebt in einem Hilbert-Raum. Das ist eine interessante Lösung, denn sie führt eindeutig zu Problemen mit der Relativitätstheorie, wenn die Box groß genug ist. Dies und andere verwandte Probleme führten zur Entwicklung der relativistischen Quantenmechanik und schließlich der Quantenfeldtheorie.

Entschuldigung für die späte Antwort. Ich habe die Frage als beantwortet markiert, möchte aber ein Missverständnis ausräumen. Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, wenn ich zulasse F ( k ) = A e ich k X würde ψ 3 ( X ) eine Summe von Dirac-Delta-Funktionen werden. Wenn ja, wie stellt dies einen Teilchenstrahl dar?
Eigentlich wählen F ( k ) Auf diese Weise würden Sie immer noch zu demselben Problem führen, da Sie das Integral von erhalten e ich 2 k X , die nicht mehr normalisierbar ist als e ich k X . Im Allgemeinen können Sie jedoch keine auswählen F ( k ) , das ist die Voraussetzung F ( k ) macht ψ 3 normalisierbar, so dass es im Hilbertraum lebt. Der "Partikelstrahl" kann eine verwirrende Betrachtungsweise sein, weil wir mit einem Einzelpartikel-Hamiltonoperator arbeiten. Aber man kann sich denken F ( k ) als eine Summe von Wellen darstellen, die interferieren. Denkt man an den Teilchen-Wellen-Dualismus, kann man sich das als Summe von Teilchen vorstellen.
Wenn Sie sich nicht zersetzen können ψ ( X ) = A e ich k X in eine Summe, indem man die Fourier-Transformation nimmt. Wie kann es möglicherweise als Summe von Wellen, also Teilchen, betrachtet werden?
Warum kann eine ebene Wellenfunktion als Strahl und nicht als einzelnes Teilchen betrachtet werden?
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