Geschwindigkeit eines Teilchens in der Quantenmechanik: Phasengeschwindigkeit vs. Gruppengeschwindigkeit

Ähnlich wie die Position selbst ist die Geschwindigkeit in der Quantenmechanik nicht nur eine einzelne Zahl; es ist ein Operator mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Ergebnisse, die sich aus der Messung der Geschwindigkeit ergeben können.

Der Operator der Geschwindigkeit im einfachsten quantenmechanischen Modell ist

$$v = p/m = -\frac{i\hbar}{m} \frac{\partial}{\partial x}$$ Sie können Ihre Wellenfunktion in die Impulsdarstellung Fourier-transformieren und dann sehen Sie verschiedene Werte des Impulses und damit der Geschwindigkeit, und die Wahrscheinlichkeitsdichten verschiedener Werte sind gegeben durch $|\tilde \psi (p)|^2$.

Betrachtet man eine einfache ebene Welle,

$$\psi (x,t) = \exp( ipx/\hbar - iEt /\hbar )$$ dann der Betreiber $v$oben hat einen Eigenzustand im obigen Vektor und der Eigenwert ist $p/m$. Andererseits ist die Phasengeschwindigkeit gegeben durch $$v_p = \omega / k = \frac{E}{p} = \frac{pv}{2p} = \frac{v}2$$ Die Geschwindigkeit des Teilchens ist also gleich der doppelten Phasengeschwindigkeit, vorausgesetzt, dass Ihre Energie (bestimmen Sie die Phasenänderung in der Zeit) nur durch das nichtrelativistische Stück gegeben ist, ohne welche $mc^2$. Man kann auch die Gruppengeschwindigkeit der Welle berechnen $$v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k } = \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{p}m = v$$ das ist genau die Geschwindigkeit des Teilchens. Der Vorteil dieser Beziehung ist, dass sie auch in der Relativitätstheorie gilt. Wenn $E=\sqrt{p^2+m^2}$, dann die Ableitung von $E$gegenüber $p$Ist $1/2E\cdot 2p =p/E = v$das ist auch genau die richtige Geschwindigkeit. Es ist nicht allzu überraschend, denn wenn ein Wellenpaket lokalisiert wird, misst die Gruppengeschwindigkeit, wie sich der „Massenschwerpunkt“ dieses Pakets bewegt, aber die Position des Pakets stimmt mit der Position des Teilchens überein, sodass die beiden Geschwindigkeiten gleich sein müssen.