Elektron im externen Magnetfeld

Stellen Sie sich vor, wir haben ein System, das aus einem Elektron in einem äußeren Magnetfeld besteht. Das magnetische Dipolmoment der Elektronen wechselwirkt mit diesem Magnetfeld, und die Energie der Wechselwirkung kann wie folgt modelliert werden

H = ω 0 S z ,
Wo ω 0 = e B 0 2 M C , nur eine Konstante. Ich habe auch angenommen, dass das Magnetfeld in der ist z Richtung, dh B → = B 0 k ^ , also nimmt es nur die Komponente des Spins in der heraus z Richtung.

Somit ist es sehr einfach, die Energiewerte dieses Hamiltonoperators zu finden, da die Energieeigenzustände genau dieselben Zustände des Operators sind S z . Wir finden

H | ± z ⟩ = ± ω 0 ℏ 2 | ± z ⟩ .
Dies sind die Energieniveaus für das System. Sie können feststellen, dass es ein negatives Energieniveau gibt E − = − ℏ ω 2 . Meine Frage ist, was die Bedeutung eines negativen Energieniveaus ist, weil ich mir nicht so sicher bin, was das bedeutet. Ich verstehe, dass negative Energien in Gegenwart eines Potentials (im SE) gebundene Zustände bedeuten, aber hier geht es uns nicht darum. Also, was bedeutet hier ein Energieniveau und was repräsentieren negative Energien im Allgemeinen physikalisch?

Antworten (1)

Normalerweise 1 , ist das Vorzeichen (oder allgemeiner der Wert) der Energie eines einzelnen Zustands für sich genommen bedeutungslos. Die einzigen messbaren Größen sind Energieunterschiede zwischen Zuständen.

Klassisch ist dies daran zu erkennen, dass dem Lagrange-Operator oder äquivalent dem Hamilton-Operator eine Konstante hinzugefügt wird 2 , wirkt sich nicht auf die Bewegungsgleichungen aus, und daher ist die Dynamik genau gleich.

Quantenmechanisch können wir das wie folgt sehen. Angenommen, wir haben Zustände | ψ ⟩ Erfüllen einer zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung mit Hamiltonian H . Definieren Sie nun einen neuen Hamiltonoperator H ~ ≡ H + C Wo C ist eine Konstante. Die zeitabhängige Schoedinger-Gleichung würde lauten (in Einheiten wo ℏ = 1 ),

ich ∂ ∂ T | ψ ~ ⟩ = H ~ | ψ ~ ⟩ = ( H + C ) | ψ ~ ⟩ .
Erwägen Sie, einen Phasenfaktor herauszunehmen, | ψ ~ ⟩ ≡ e − ich C T | ψ ⟩ . Wenn wir dies dann in unsere Gleichung einsetzen, haben wir
e − ich C T ( ich ∂ ∂ T | ψ ⟩ + C | ψ ⟩ ) = ( H + C ) e − ich C T | ψ ⟩ .
Wir sehen die beiden Terme proportional zu C abbrechen, und wir können die Phase auch abbrechen. Daher sehen wir, dass die Zustände in der Theorie mit dem neuen Hamiltonoperator H ~ stehen in einer Eins-zu-Eins-Übereinstimmung mit den Zuständen in der alten Theorie mit Hamiltonian H , mit nur einer trivialen Multiplikation des gemeinsamen Phasenfaktors. (Da der Phasenfaktor für alle Zustände gleich ist, ist er nicht beobachtbar.)

Bei den von Ihnen beschriebenen gebundenen Zuständen ist das Minuszeichen der Energie relativ (zumindest klassisch gesprochen) zum Zustand eines unendlich weit entfernten und bewegungslosen Teilchens, das als Nullenergie definiert ist, und damit zu den genauen Energiewerten anderer Staaten wurden sinnvoll gemacht.

1. Dies ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr der Fall, wo Energiewerte selbst (nicht nur Energieunterschiede) wichtig sind, da sie die Krümmung der Raumzeit durch Einsteins Feldgleichungen bestimmen.

2. Wenn der Lagrange-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt, gibt der Hamilton-Operator die Energie des Systems an. Wenn der Lagrangian explizit von der Zeit abhängt, bin ich mir nicht sicher, wie ich auf diese Weise für die Unwichtigkeit der Null der Energie argumentieren soll.

Wenn L hängt es explizit davon ab T , ist der Hamiltonoperator erhalten, aber nicht unbedingt gleich der Energie. H ist die Energie in natürlichen Systemen und - grob gesagt - wann ∑ k Q ˙ k P k = 2 T , dh die doppelte kinetische Energie.
Im Grunde ist die Dynamik also invariant, wenn Sie eine Konstante hinzufügen H ?
@JoshPilipovsky ja.
Elektron im externen Magnetfeld
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v