Teilchen mit Spin im einheitlichen Magnetfeld

In dem Text "Introduction to Quantum Mechanics" von Griffiths wird folgendes angegeben: Das magnetische Dipolmoment μ → ist proportional zu seinem Spindrehimpuls S → :

μ → = γ S → ;
wo die Energie mit dem Drehmoment eines magnetischen Dipols in einem homogenen Magnetfeld verbunden ist B → Ist
H = − μ → ⋅ B →
also der Hamiltonoperator eines rotierenden geladenen Teilchens, das in einem Magnetfeld ruht B → Ist
H = − γ B → ⋅ S →
Larmor-Präzession : Stellen Sie sich ein Spin-Teilchen vor 1 2 in Ruhe in einem homogenen Magnetfeld, das in z-Richtung zeigt
B → = B 0 k ^ .
Der Hamiltonian in Matrixform ist
H ^ = − γ B 0 S z ^ = − γ B 0 ℏ 2 [ 1 0 0 − 1 ]

Die Eigenzustände von H ^ sind die gleichen wie die von S z ^ :

χ +         mit Energie       E + = − ( γ B 0 ℏ ) 2
oder
χ −         mit Energie       E − = + ( γ B 0 ℏ ) 2

Dann heißt es: „Offenbar ist die Energie am geringsten, wenn das Dipolmoment parallel zum Feld ist“. Ich nehme an, sie bedeuten, dass die Energie am niedrigsten ist, wenn sich das Teilchen in diesem Zustand befindet χ + , aber wie entspricht das Teilchen in diesem Zustand dem Dipolmoment, das parallel zum Magnetfeld ist?

Danke.

Antworten (1)

χ + ist der z Spin-up-Zustand, weil es der Eigenvektor von ist σ z mit Eigenwert 1 . Sehen Sie sich die Definition des Magnetfelds an: B = B 0 k ^ . Wir haben das ins Positive weisende Magnetfeld definiert z Richtung, das heißt, die gleiche Richtung wie die χ + drehen.

Deshalb, die χ + Zustand entspricht einem Dipolmoment mit Spin parallel zum Magnetfeld.

Okay, danke, aber was genau bedeutet es, wenn sich ein Zustand im Z-Spin-Up-Zustand befindet? χ + = ( 1 0 ) wo es Eigenwert hat ℏ 2 ? Ist folgende Interpretation richtig: Bedeutet das einfach, dass der Spin um die z-Achse nur zwei Werte annehmen kann ℏ 2 Und − ℏ 2 was einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn um die entspricht z ^ Achse (spin up), so dass der Vektor auf die z-Achse zeigt und jeweils gegen den Uhrzeigersinn um die Achse dreht − z ^ Achse (spin down), sodass der Vektor auf die z-Achse zeigt?
Grundsätzlich haben Teilchen einen Drehimpuls, der entlang einer bestimmten Achse gemessen werden kann, beispielsweise mit einem Stern-Gerlach-Apparat. Wenn Sie den Spin entlang der messen z Achse eines Teilchens im Zustand χ + , indem man es zum Beispiel durch einen Stern-Gerlach-Apparat laufen lässt, der entlang der ausgerichtet ist z Achse, dann messen Sie ℏ / 2 . Das ist die Bedeutung von χ + Zustand.
Außerdem wäre ich vorsichtig, eine mikroskopische Erklärung des Teilchenspins zu suchen, indem ich mir vorstelle, dass sich das Teilchen tatsächlich um eine bestimmte Achse im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn dreht. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik ist es meiner Meinung nach am besten, sich den Spin als einen völlig internen Freiheitsgrad eines Punktteilchens vorzustellen, der sich grundlegend vom Bahndrehimpuls unterscheidet, der mit der physikalischen Rotation eines ausgedehnten Körpers verbunden ist.
Ok danke für eure Antworten. In Ihrer Antwort auf meine ursprüngliche Frage sagen Sie: "Wir haben das Magnetfeld definiert, das ins Positive zeigt z Richtung, das heißt, die gleiche Richtung wie die χ + Spin." Sie interpretieren also den Quantenspin (entsprechend dem positiven Eigenwert) auch als Vektor auf der z-Achse, dies betrachtet den Spin als Drehung um eine Achse, also betrachten Sie ihn auch im klassischen Sinne auf deine antwort?
Kein Problem. Auch wenn es keine tatsächliche Drehung um eine Achse gibt, können wir den Spin dennoch mit einer Richtung assoziieren. Sie können sich dies nur als Bezeichner des entsprechenden Spinoperators und Eigenwerts vorstellen. So assoziieren wir zum Beispiel χ + mit dem + z Richtung, weil es ein Eigenvektor von ist S z mit Eigenwert ℏ / 2 . Und wir würden uns dem anschließen − X Achse der Eigenvektor von S X mit Eigenwert − ℏ / 2 . Dies ist nur eine bequeme Identifizierung und impliziert keine tatsächliche klassische Drehung! Aber ja, Sie haben Recht, die Terminologie ist vom klassischen Fall inspiriert.
Inspiriert von tatsächlichen Ereignissen, aber nicht basierend auf einer wahren Geschichte, ist QM schwierig ... Aber das macht etwas mehr Sinn, ich habe versucht herauszufinden, wie genau die Eigenvektoren der z-Komponente sind ( 1 0 ) Und ( 0 1 ) entsprechen Rotationsvektoren auf und ab der z-Achse, aber wie Sie sagen, wird die Richtung analog zum klassischen Fall zugewiesen.
Ich helfe gerne (ein bisschen)! Okay, wenn wir solche Spaltenvektoren verwenden, gibt es eigentlich keine Physik zu verstehen; Es ist nur lineare Algebra. Spinzustände sind Elemente eines zweidimensionalen Hilbert-Raums. Wir entscheiden uns (willkürlich, der Einfachheit halber), die Menge als Grundlage zu nehmen χ + , χ − . Diese beiden Vektoren überspannen den Raum, sodass jeder Spinzustand als Linearkombination von geschrieben werden kann χ + Und χ − . Dann kann jeder Spinzustand in dieser Basis durch einen Spaltenvektor der beiden Koeffizienten dieser Linearkombination dargestellt werden. Offensichtlich sind die Spaltenvektoren für χ + Und χ − sind trivial.
Teilchen mit Spin im einheitlichen Magnetfeld
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