Beziehung zwischen magnetischem Dipolmoment und Spin-Winkelimpuls

Ich lese gerade Introduction to Quantum Mechanics 1st Edition von David J. Griffiths und habe ein paar Fragen zu diesem Abschnitt auf Seite 160.

Ein rotierendes geladenes Teilchen bildet einen magnetischen Dipol. Sein magnetisches Dipolmoment$\mu$ist proportional zu seinem Spindrehimpuls S :

$$\mathbf{\mu} = \gamma\mathbf{S}$$ die Proportionalitätskonstante $\gamma$wird als gyromagnetisches Verhältnis bezeichnet .

Nehmen Sie das magnetische Dipolmoment als Vektor in$\mathbb{R}^3$, worauf bezieht sich S ? Ich habe noch keinen Vektor in gesehen$\mathbb{R}^3$Als Spin-Drehimpuls werden im Text nur Spinoren bezeichnet, die den allgemeinen Zustand zB eines Spin-1/2-Teilchens wiedergeben

$$\chi = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = a\chi_+ + b\chi_-$$ Verwenden der Spin-up- und Spin-down-Eigenzustände als Basisvektoren.

Der Abschnitt geht weiter:

Wenn ein magnetischer Dipol in ein Magnetfeld gebracht wird$\mathbf{B}$, es erfährt ein Drehmoment,$\mathbf{\mu \times B}$, die dazu neigt, es parallel zum Feld auszurichten (genau wie eine Kompassnadel). Die mit dem Drehmoment verbundene Energie ist

$$H = -\mu\cdot\mathbf{B}$$ also der Hamiltonoperator eines rotierenden geladenen Teilchens, das in einem Magnetfeld ruht $\mathbf{B}$, wird $$H = -\gamma\mathbf{B\cdot S}$$ Wo $\mathbf{S}$ist die entsprechende Spinmatrix.

Was ist die mathematische Bedeutung dieses Skalarprodukts?$\mathbf{B\cdot S}$eines Vektors in$\mathbb{R}^3$mit einer 2x2-Matrix (bei Spin 1/2)?