Verstehen, wie der zeitentwickelte Zustandsvektor für einen einheitlichen Operator bestimmt wird, der aus nicht kommutierenden Operatoren konstruiert ist

Angenommen, wir haben einen zeitunabhängigen Hamiltonian

H = ℏ G ( σ X + σ j + σ z )

Ich weiß, dass der Einheitsoperator wie folgt lautet:

U ( T ) = e X P ( − ich H T / ℏ )
Aufgrund der Pauli-Spin-Operatoren in H paarweise anticommute wissen wir das

e X P ( − ich T G ( σ X + σ j + σ z ) ) ≠ e X P ( − ich T G σ X ) e X P ( − ich T G σ j ) e X P ( − ich T G σ z )

Meine Frage ist, wie wir diese Informationen verwenden, um den zeitlich entwickelten Zustandsvektor für das Teilchen abzuleiten | ψ ( T ) ⟩ = U ( T ) | ψ ( 0 ) ⟩ .

Angenommen, wir wüssten das | ψ ( 0 ) ⟩ = | ↑ ⟩

Das können wir festhalten

| ψ ( T ) ⟩ = e X P ( − ich T G ( σ X + σ j + σ z ) ) | ↑ ⟩

Das weiß ich auch für einen Operator A und einen Skalar a Wir haben die Identität

e X P ( ich A a ) = C Ö S ( a ) + ich S ich N ( a ) A

Im Allgemeinen pendeln die Betreiber für diese Art von Problemen, also würde ich versuchen, etwas in der Art von zu lösen

| ψ ( T ) ⟩ = e X P ( − ich T G σ X ) e X P ( − ich T G σ j ) e X P ( − ich T G σ z ) | ↑ ⟩
und rufen Sie dann die Operator-A-Beziehung auf. Da die Pauli-Operatoren jedoch paarweise antipendeln, kann ich dies nicht tun und bin mir nicht sicher, wie ich die Vereinfachung lösen soll, wie z.
| ψ ( T ) ⟩ = e X P ( − ich T G ( σ X + σ j + σ z ) ) | ↑ ⟩

und so wäre jeder helo dankbar:

Haben Sie zuerst versucht, die Eigenbasis des Hamiltonoperators zu finden? Sobald Sie die Eigenbasis des Hamiltonoperators kennen, können Sie den Propagator einfach ausdrücken als ∑ N e − ich E N T | N ⟩ ⟨ N | und der Staat zu der Zeit T wird einfach sein ∑ N e − ich E N T | N ⟩ ⟨ N | ψ ( 0 ) ⟩ .
Ich möchte auch erwähnen, dass der Hamiltonoperator als Summierung von Operatoren, die nicht pendeln, nichts Exotisches ist. Fast alle unsere Beispiele in QM-Kursen beinhalten Hamiltonianer dieses Typs P ^ 2 + v ( X ^ ) und das wissen wir [ P ^ , X ^ ] ≠ 0 ;-)
Das ist sehr wahr, aber normalerweise bin ich daran gewöhnt, Dinge wie z H | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ Dinge zu lösen, die von der Form sind e X P ( − ich H T / ℏ ) | ψ ⟩ ist für mich im Moment etwas schwieriger.
Ja, aber der Punkt meines Kommentars ist, dass Sie nur das Eigenwertproblem für den Hamilton-Operator lösen müssen. Der H | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ das du erwähnt hast. Sobald das erledigt ist, ist es trivial. Sie brauchen nicht mit den potenzierten Operatoren zu arbeiten, da es sich um potenzierte Skalare in der Eigenbasis des Hamilton-Operators handelt.
Sehe aber immer noch nicht, wie man das obige Problem lösen kann. Tut mir leid, dass ich nicht ganz sehe, was ich tun soll!

Antworten (1)

Es gibt eine sehr nützliche Identität für Exponentiale von Pauli-Matrizen (siehe https://math.stackexchange.com/questions/3236998/exponential-of-pauli-matrices/3237834 für einen Beweis):

e ich θ N ^ ⋅ σ = cos ⁡ θ ICH + ich ( N ^ ⋅ σ ) Sünde ⁡ θ

Für Ihren Hamiltonian θ = − T G Und N ^ ⋅ σ = σ X + σ j + σ z , was ergibt:

U ( T ) = cos ⁡ ( T G ) ICH − ich Sünde ⁡ ( T G ) ( σ X + σ j + σ z )

Beachten Sie, dass U ( T ) kann auch bequem als dargestellt werden 2 X 2 Matrix, die auf Vektoren wirkt, die den Quantenzustand darstellen:

U ( T ) = [ cos ⁡ ( T G ) − ich Sünde ⁡ ( T G ) ( − 1 − ich ) Sünde ⁡ ( T G ) ( 1 − ich ) Sünde ⁡ ( T G ) cos ⁡ ( T G ) + ich Sünde ⁡ ( T G ) ]

Also, mit Ihrem Beispielzustand,

| ψ ( T ) ⟩ = U ( T ) | ↑ ⟩ = ( cos ⁡ ( T G ) − ich Sünde ⁡ ( T G ) ) | ↑ ⟩ + ( 1 − ich ) Sünde ⁡ ( T G ) | ↓ ⟩

Sie können alternativ der Methode aus den obigen Kommentaren folgen, wo Sie die Matrix nehmen H , diagonalisieren Sie diese Matrix, um die Eigenvektoren und Eigenwerte zu finden, stellen Sie Ihren Anfangszustand in dieser Eigenbasis dar und entwickeln Sie dann den Zustand mit der Zeit unter Verwendung der Eigenwerte. Beide Methoden sind gleichwertig, und die beste Methode hängt oft von der Anwendung ab.

aus der Matrix U(t) wie hast du die letzte Zeile abgelesen?
Erstens, in Vektornotation, | ↑ ⟩ = [ 1 0 ] Und | ↓ ⟩ = [ 0 1 ] . Das liegt daran, wie wir definieren σ z und das σ z | ↑ ⟩ = | ↑ ⟩ Und σ z | ↓ ⟩ = − | ↓ ⟩ . Jetzt können wir den Zustand in Vektornotation einfach direkt mit der Matrix multiplizieren U , und schließlich in Bra-Ket-Notation umschreiben.
Entschuldigung, das ist eine Weile her, aber ich habe auch bemerkt, dass der neue Zustand nicht normalisiert ist. Warum ist das und sicherlich ist dies ein Problem?
Ja, du hast Recht, ich entschuldige mich. Es sollte einen Faktor von geben 1 / ( 3 ) , was davon herrührt, dass N ^ muss ein Einheitsvektor sein. Sie sollten einen ordnungsgemäß normalisierten Zustand erhalten, wenn Sie definieren N ^ richtig mit diesem zusätzlichen Faktor.
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