Neutrales Quantenteilchen im inhomogenen Magnetfeld

Question

Neutrales Quantenteilchen im inhomogenen Magnetfeld

Ruslan

Ich versuche, das Stern-Gerlach-Experiment auf einer Computerebene zu verstehen. Angenommen, wir haben ein neutrales Teilchen mit magnetischem Moment (z. B. ein Neutron) und wenden ein inhomogenes Magnetfeld an (es soll sich linear mit der Koordinate ändern). Soweit ich weiß, würde der Hamiltonian so aussehen:

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \nabla^{2} + (\frac{e}{M C}) \hat{\vec{S}} \vec{B}

$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\left(\frac e{mc}\right)\hat{\vec s}\vec B$

Jetzt ist der Spin-Operator

{\hat{S}}_{ich} = \frac{ℏ}{2} σ_{ich},

$\hat s_i=\frac{\hbar}2\sigma_i,$

Wo $\sigma_i$ Ist $i$ te Pauli-Matrix .

Also für Magnetfelder $\vec B=\vec e_x B_0 x$ Wir hätten die Schrödinger 1D-Gleichung (Y- und Z-Richtung können aufgrund der Translationssymmetrie getrennt werden):

- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} + (\frac{ℏ e}{2 M C}) σ_{X} B_{0} X ψ = ich ℏ \frac{\partial ψ}{\partial T} .

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\left(\frac {\hbar e}{2mc}\right)\sigma_x B_0 x\psi=i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t}.$

Ich versuche nun, diese Gleichung numerisch zu lösen, indem ich die anfängliche Wellenfunktion in der folgenden Form annehme:

ψ (X, T = 0) = (\begin{matrix} ψ_{0} (X) \\ ψ_{0} (X) \end{matrix}),

$\psi(x,t=0)=\begin{pmatrix}\psi_0(x)\\ \psi_0(x)\end{pmatrix},$

Wo $\psi_0(x)$ ist ein Gaußsches Wellenpaket mit einem durchschnittlichen Impuls von Null.

Die Probleme beginnen, wenn ich wähle $\sigma_x$ wie gewöhnlich angegeben:

σ_{X} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$

Die Lösung scheint wie unten gezeigt auszusehen. Dh beide Wellenfunktionskomponenten beschleunigen nach links!

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Ich dachte, was wäre, wenn ich eine andere Achse als wählen würde $x$ , also habe ich versucht, dasselbe mit zu tun $\sigma_y$ :

σ_{j} = (\begin{matrix} 0 & - ich \\ ich & 0 \end{matrix}) .

$\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$

Das Ergebnis in der Animation unten. Jetzt ist es etwas besser: Die Wellenfunktion teilt sich zumindest in zwei Teile auf, einen nach links, einen nach rechts. Trotzdem bestehen beide Teile aus einer Mischung von Spin-up- und Spin-down-Zuständen, also nicht wirklich das, was man von einem Stern-Gerlach-Experiment erwarten würde.

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Schließlich habe ich die letzte Option ausprobiert – using $\sigma_z$ :

σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

$\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$

Das Ergebnis ist unten noch einmal dargestellt. Schließlich bekomme ich die Aufteilung in "unabhängige" Spin-Teile, dh ein Spin-Teil geht nach links, ein anderer nach rechts.

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Nun die Frage : Wie sind diese Ergebnisse zu interpretieren? Warum führt die Wahl der aktiven Achse zu solch drastischen Unterschieden in den Ergebnissen? Wie hätte ich stattdessen vorgehen sollen, um aussagekräftige Ergebnisse zu erhalten? Sollte die Permutation von Pauli-Matrizen die Ergebnisse nicht beeinflussen?

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Neutrales Quantenteilchen im inhomogenen Magnetfeld

rauben · Answer 1

Ich werde einige kosmetische Änderungen an Ihrer Gleichung vornehmen:

Ihr Magnetfeld sollte sein $\vec B = \vec e_x B_0 x/x_0$ , so dass $\vec B$ Und $B_0$ gleiche Maße haben. Dieses Feld gehorcht nicht $\vec\nabla\cdot\vec B=0$ , aber das lassen wir jetzt mal.
ich werde schreiben $\mu \vec\sigma\cdot\vec B$ für die magnetische Energie. Beachten Sie, dass das magnetische Moment des Neutrons ziemlich klein ist, etwa 50 neV/T. Sogenannte "ultrakalte" Neutronen mit Energien unter etwa 100 neV können durch ein Magnetfeldminimum eingeschlossen werden, aber für kalte oder thermische ~meV-Neutronen ist die Stern-Gerlach-Steuerung im Allgemeinen vernachlässigbar. (Wenn es nicht vernachlässigbar wäre, könnten Sie die Stern-Gerlach-Trennung verwenden, um einen Neutronenstrahl in zwei polarisierte Strahlen umzuwandeln, die in verschiedene Richtungen gehen; leider absorbieren echte Neutronenpolarisatoren alle einen Spinzustand.)
Ihre Bewegungsgleichung ist auch zeitlich trennbar, daher werde ich nur den räumlichen Teil davon betrachten; wir können einen Faktor von anhängen $e^{-i\omega t}$ später.
Ich werde verwenden $\phi$ Und $\chi$ um den beiden Komponenten Ihres Spinors getrennte Namen zu geben.

In Matrixschreibweise lautet Ihre zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

(\begin{array}{cc} \frac{- ℏ^{2}}{2 M} \partial_{X}^{2} & \frac{μ B_{0} X}{X_{0}} \\ \frac{μ B_{0} X}{X_{0}} & \frac{- ℏ^{2}}{2 M} \partial_{X}^{2} \end{array}) (\binom{ϕ}{χ}) = E (\binom{ϕ}{χ}) .

$\left(\begin{array}{cc} \frac{-\hbar^2}{2m}\partial_x^2 & \frac{\mu B_0 x}{x_0} \\ \frac{\mu B_0 x}{x_0} & \frac{-\hbar^2}{2m}\partial_x^2 \end{array}\right) {\phi\choose\chi} = E {\phi\choose\chi}.$

Das macht es ein wenig offensichtlicher, was passiert. Wenn Sie Ihr anfängliches Ensemble definiert haben $\phi = \chi = \psi_0(x)$ , versetzen Sie Ihr System in einen Eigenzustand von $\sigma_x$ ! Natürlich bewegt sich das gesamte Ensemble zusammen: Es ist entlang der Feldrichtung polarisiert! Wenn Ihre Anfangsbedingung ist $\phi = -\chi$ , sollte sich ein Paket in die andere Richtung bewegen.

Wenn Sie ersetzen $\sigma_x$ mit $\sigma_{y,z}$ , ändern Sie effektiv die Richtung des Feldes. Denken Sie daran, dass die Energie ist $\mu\vec\sigma\cdot\vec B$ ; wenn der einzige Term ungleich Null in diesem Produkt ist $\sigma_y B_0 x/x_0$ , teilen Sie Ihrem Modell mit, dass die Feldstärke mit variiert $x$ aber Punkte entlang der $y$ Richtung. (Da diese Felder gehorchen $\vec\nabla\cdot\vec B=0$ , Sie sollten sie sowieso bevorzugen.) In Ihre zweite und dritte Zahl setzen Sie also ein $x$ -polarisierte Probe in einem Feld entlang $y$ oder entlang $z$ , und es trennt sich. Die Trennung erfolgt eher entlang der Richtung des Feldstärkegradienten als entlang der Richtung des Feldes; die UCN-Trapper sprechen von "starken Feldsuchern" und "schwachen Feldsuchern".

Im Feld entlang zeigend $z$ , Ihre Probe trennt sich in Ihre Spinorbasis, wodurch Sie die schönen Farben erhalten.

Im Feld entlang zeigend $y$ , Ihre Probe trennt sich immer noch. Aber anstatt sich in die zu trennen $\phi,\chi$ Grundlage, die Sie für Farben verwenden, sind die diagonalen Zustände $\phi\pm i\chi$ . Dies führt zu Interferenzen, wenn sich die beiden Wellenpakete überlappen.

Wow, das ist interessant. Könnten Sie erläutern, warum Einstellung $\phi=\chi$ macht die Wellenfunktion zu einem Eigenzustand von $\sigma_x$ ? Ich dachte, ein Eigenzustand wäre, wenn ich zB setze $\chi=0, \phi\ne0$ .
Hausaufgabe: Zeigen Sie, dass die Eigenvektoren von $\sigma_x$ Sind $(1,±1)$ , und dass die Eigenvektoren von $\sigma_y$ Sind $(1,±i)$ . Finde die Eigenvektoren von $\sigma_z$ . :-)
OK, ich scheine langsam zu verstehen. Aber warum trennt es sich in Spinorbasis für $z$ -gerichtetes Feld, aber nicht für $y$ -gerichtet? Sollte es nicht genauso sein, denn wir könnten das Bezugssystem umdrehen $\vec e_x$ beim Schalten $y$ -Feld zu $z$ -Feld und hat sich nichts geändert?
Ah, ich scheine zu verstehen: Dieser Unterschied ist nicht messbar: Die Wahrscheinlichkeitsdichte für Elektronen ändert sich nicht, also ist das kein wirkliches Problem.
Ich denke, dass ich dir zustimme: der einzige Grund ist die Reaktion auf das Feld entlang $z$ besonders aussieht, ist, dass Sie zufällig das gewählt haben $z$ Achse für Ihre Darstellung.

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Ruslan

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