Energieniveaus im Spin-Zustand

Question

Energieniveaus im Spin-Zustand

Mike Smith

Wenn ein Spin-1/2-Teilchen in ein Magnetfeld gebracht wird, das stark genug ist und sich langsam genug in Raum und Zeit ändert, wird es polarisiert und sein Spin wird sich entweder mit der Richtung des Magnetfelds ausrichten oder gegen die Ausrichtung ausrichten. Das Magnetfeld sei mit bezeichnet $\mathbf{B}$ und die Drehung durch $\mathbf{s}$ . Dann wird unter dieser Bedingung die potentielle Energie

U = \pm γ | S | | B |

$U = \pm\gamma|\mathbf{s}||\mathbf{B}|$

Wo $\gamma$ ist das gyromagnetische Verhältnis (das negativ sein kann) und die oberen und unteren Vorzeichen entsprechen den Spin-Up- bzw. Spin-Down-Zuständen.

Ich glaube, das alles ist Standard-Quantenmechanik. Wenn das Magnetfeld einen räumlichen Gradienten aufweist (der nicht zu groß ist), induziert das Feld eine Kraft auf das Spin-1/2-Teilchen. Dies ist die Grundlage des Stern-Gerlach-Experiments. Und insbesondere zeigt das SG-Experiment, dass die Spin-up- und Spin-down-Zustände (zumindest ungefähr) gleich wahrscheinlich sind, wenn die Teilchenquelle anfänglich unpolarisiert oder in einer Richtung senkrecht dazu polarisiert ist $\mathbf{B}$ wie in sequentiellen SG-Experimenten beobachtet.

Basierend auf der oben angegebenen potentiellen Energiefunktion ist es jedoch klar, dass der anti-ausgerichtete Zustand eine niedrigere Energie für einen gegebenen Wert von hat $|\mathbf{B}|$ (vorausgesetzt $\gamma > 0$ ). Sollte ich mich also wundern, dass zwei Zustände mit unterschiedlichen Energieniveaus gleich wahrscheinlich erscheinen sollten? Gibt es eine Präferenz dafür, dass der ausgerichtete Zustand innerhalb eines konstanten Magnetfelds schließlich in den anti-ausgerichteten Zustand mit niedrigerer Energie übergeht? Ich habe noch nie gesehen, dass dieses Problem in QM-Lehrbüchern oder anderswo angesprochen wurde.

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Energieniveaus im Spin-Zustand

user73762 · Answer 1

Die Energiedifferenz zusammen mit der größeren thermodynamischen Wahrscheinlichkeit für die Besetzung des unteren Niveaus ist real. Es gibt eine Anwendung, Kernspinresonanz (NMR)-Spektroskopie/Bildgebung/Quantencomputer. Aufgrund der sehr geringen Energiedifferenz für technisch erreichbare Magnetfelder ist der Effekt bei Raumtemperatur jedoch meist vernachlässigbar. NMR begnügt sich mit dem winzigen Ungleichgewicht, das bei Raumtemperatur vorhanden ist.

Brionius · Answer 2

Wenn die Teilchenquelle "unpolarisiert" ist, bedeutet dies wörtlich, dass Teilchen aus dieser Quelle in beiden Energieeigenzuständen mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu finden sind - das ist die Definition von "unpolarisiert", also sollten Sie sich darüber nicht wundern.

Wenn der Spin eines Teilchens "senkrecht zum Magnetfeld" ist, bedeutet dies eine andere Art zu sagen, dass sich das Teilchen in einer gleichen Überlagerung der beiden Energie-Eigenzustände befindet, d.h.

| ψ ⟩ = A | ↑ ⟩ + B | ↓ ⟩

$\lvert \psi \rangle = a\lvert \uparrow \rangle + b\lvert \downarrow \rangle$

Wo $|a| = |b|$ . Das bedeutet auch, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in beiden Zuständen zu finden, gleich wahrscheinlich ist:

⟨ ↑ | | ψ ⟩ = | A |^{2} = | B |^{2}

$\langle \uparrow \rvert \lvert \psi \rangle = |a|^2 = |b|^2$

⟨ ↓ | | ψ ⟩ = | B |^{2} = | A |^{2}

$\langle \downarrow \rvert \lvert \psi \rangle = |b|^2 = |a|^2$

Sie haben jedoch Recht, dass Sie im thermischen Gleichgewicht unter dem Einfluss eines Magnetfelds mehr vom niederenergetischen Eigenzustand erwarten sollten als vom höherenergetischen, wobei die relativen Wahrscheinlichkeiten wie folgt proportional sind:

P (\pm E) = e X P \frac{\mp γ | S | | B |}{k T}

$p(\pm E) = {\rm exp}{\frac{\mp \gamma |s| |B|}{k T}}$ Aber das ist beim SG-Experiment nicht der Fall.

Können Sie erklären, warum Ihre letzte Gleichung nicht auf das SG-Experiment zutrifft? Was ich vermute, ist, dass es einige Zeit dauern würde, nachdem eine Partikelpopulation dem Magnetfeld ausgesetzt wurde, um ein neues thermisches Gleichgewicht gemäß Ihrer letzten Gleichung zu erreichen. Während dieses Prozesses besteht eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass Spinzustände umkehren, wobei die Mehrheit der Umkippungen von höheren zu niedrigeren Energien geht. Wie können wir sicher sein, dass SG nicht im Gleichgewicht war? Gibt es eine Möglichkeit, die Zeit bis zum Gleichgewicht abzuschätzen?

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Mike Smith

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user73762

Brionius

Mike Smith

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