Wie sieht das Magnetfeld des (quantenmechanischen) Elektrons aus?

Das magnetische Moment des Elektrons ist ein magnetisches Moment, also das richtige Magnetfeld um es herum

$$\mathbf{B}({\mathbf{r}})=\nabla\times{\mathbf{A}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{3\mathbf{r}(\mathbf{\mu}\cdot\mathbf{r})}{r^{5}}-\frac{{\mathbf{\mu}}}{r^{3}}\right).$$ Die Welt ist quantenmechanisch – und so ist jede brauchbare Beschreibung des Spins – also müssen wir die Postulate der Quantenmechanik respektieren. Insbesondere entspricht das obige Magnetfeld einem "Zustand" (z. B. Spin-up und Spin-down) und man kann komplexe lineare Überlagerungen solcher Zustände konstruieren. Es ist wichtig zu erkennen, dass die quantenmechanische Überlagerung von Zuständen im Hilbert-Raum keineswegs bedeutet, dass die entsprechenden Magnetfelder nach dem Überlagerungsprinzip des klassischen elektromagnetischen Feldes hinzugefügt werden.

Tatsächlich sind sie lineare Überlagerungen von Zuständen, die unterschiedliche Profile des Magnetfelds enthalten.

Das Magnetfeld um das Elektron herum ist so schwach, dass es in der Tat keineswegs als klassisches Magnetfeld in dem Sinne angesehen werden kann, dass die klassischen Felder "groß" sind. Aber die klassische Formel für das Magnetfeld ist immer noch richtig! Diese Formel definiert das magnetische Moment. Wichtig sind aber immer die Quanteneffekte. Auch wenn Sie versuchen, dieses sehr schwache Magnetfeld zu messen, wird es unvermeidlich den Zustand des gemessenen Systems beeinflussen, einschließlich des Spins des Elektrons selbst.

Es ist natürlich völlig falsch, sich vorzustellen, dass wir ein so schwaches Magnetfeld mit einem großen makroskopischen Gerät wie einem Kühlschrankmagneten messen könnten. Die Wirkung des Magnetfelds eines Elektrons auf ein so großes Objekt wäre natürlich nahezu null. Tatsächlich garantiert die Quantenmechanik die Quantisierung vieler "Phänomene", also anstatt einen sehr kleinen Effekt auf den Kühlschrankmagneten vorherzusagen, sagt sie einen endlichen Effekt auf den Kühlschrankmagneten voraus, der mit einer winzigen Wahrscheinlichkeit auftritt.

Sie können das Magnetfeld des Elektrons "messen", indem Sie mit einem anderen Magneten in Form eines Elementarteilchens einen gebundenen Zustand erzeugen. Beispielsweise üben das Elektron und das Proton in einem Wasserstoffatom die gleiche Art von Kraft aus, die Sie von den üblichen „klassischen“ Formeln erwarten würden – aber es ist wichtig zu erkennen, dass alle Größen in den Gleichungen Operatoren mit Hüten sind.

Lassen Sie mich Ihnen ein Beispiel einer einfachen Konsistenzprüfung zeigen, die impliziert, dass es keinen Widerspruch gibt. Berechnen Sie den Erwartungswert des Magnetfeldes (ein Operator)$\vec B(\vec r)$irgendwann für den Staat$c_{up}|up\rangle + c_{down} |down\rangle$. Der Spaltenvektor der Amplituden$c$ist normalisiert. Die Prüfung besteht darin, dass Sie den gleichen Erwartungswert von erhalten$\vec B(\vec r)$für jede$\vec r$wenn Sie es zuerst für die Komponenten "oben" und "unten" separat berechnen und dann die Terme hinzufügen, oder wenn Sie zuerst feststellen, dass es sich um einen Spin-Zustand "oben" in Bezug auf eine neue Achse handelt$\vec n$, und berechnen$\vec B$davon.

Es ist eine schöne Übung. Der Punkt ist, dass der Erwartungswert von$\vec B(\vec r)$ist ein bilinearer Ausdruck im bra-Vektor und im ket-Vektor$|\psi\rangle$, ähnlich wie die Richtung$\vec n$. Und in der Tat,$\vec B$ist linear in der Richtung$\vec n$, nach obiger Formel, also werden die Dinge stimmen. Sie können tatsächlich etwas anderes zum Erwartungswert hinzufügen, damit die Prüfung für alle linearen Ausdrücke in funktioniert$\vec B$. Die höheren Mächte der$\vec B$haben ebenfalls Erwartungswerte, aber sie verhalten sich anders als in der klassischen Physik, weil es zusätzliche Beiträge aus dem "Unschärfeprinzip" geben wird, analog zu den Nullpunktsenergien des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik.

Es ist äußerst wichtig zu erkennen, dass das Feld$\vec B(\vec r)$ist auch ein Operator - also hat es außerdiagonale Matrixelemente ungleich Null in Bezug auf die Spinzustände "oben" und "unten" des Elektrons. In der Tat, wenn Sie nur schreiben$\vec \mu$In der Formel für das Magnetfeld, mit der ich als Vielfaches der Pauli-Matrizen (Spin des Elektrons) begonnen habe, sehen Sie genau, wie sich der "Schlüssel"-Term im Magnetfeld in Bezug auf die Up- und Down-Spin-Zustände verhält. Die nichtdiagonalen Elemente tragen nicht zum Erwartungswert im Aufwärts- oder Abwärtszustand bei, aber sie beeinflussen die "gemischten Matrixelemente zwischen oben und unten", und diese beeinflussen die Erwartungswerte in Spinzuständen, die entlang nicht-vertikaler Achsen polarisiert sind .

Übrigens habe ich hier eine halb populäre Blog-Version meiner Antwort hinzugefügt

http://motls.blogspot.com/2014/07/does-electrons-magnetic-field-look-like.html?m=1