Spin im Magnetfeld und Eigenwerte

Ich würde das Problem leicht umformulieren, um der konventionellen Notation zu entsprechen. Bei jeder Diskussion über Magnetresonanz – von Teilchen mit Spin 1/2, seien es Elektronen oder, sagen wir, Protonen – wird die Richtung des magnetischen (polarisierenden) Feldes immer als +z in einem Laborkoordinatensystem gewählt. Dann entsprechen die beiden stationären Zustände, die ich (der Einfachheit halber) als |+> und |-> schreibe, dem Spin, der mit seiner z-Komponente des Drehimpulses parallel oder antiparallel zum polarisierenden Feld ausgerichtet ist.

Die stationären Zustände sind tatsächlich Eigenzustände der z-Komponenten-Pauli-Matrix in Bezug auf den aktuellen Laborkoordinatenrahmen.

Dann ist der von Ihnen dargestellte Operator eine lineare Kombination aller drei Pauli-Matrizen in diesem Rahmen. Jede Pauli-Matrix (oder lineare Kombination davon) fungiert mathematisch als Generator einer infinitesimalen Drehung des Spins. Ihre herkömmlichen x-, y- und z-Pauli-Matrizen erzeugen jeweils individuell infinitesimale Drehungen des Spins um diese Achsen. Die beste Diskussion, die ich darüber kenne, ist das Buch des Messias (wie in einer früheren Antwort oben erwähnt); Sie können auch ME Rose 'Theory of Angular Momentum' zu Rate ziehen, das als Dover-Nachdruck erhältlich ist.

Das Drehen eines Eigenkets gibt Ihnen einen neuen Zustand, aber es ändert nicht Ihre Basis, die im Wesentlichen durch die Richtung des polarisierenden Magnetfelds definiert ist. Sie können die Drehungen beliebig drehen, aber Ihr Ergebnis wird immer noch als lineare Kombination derselben Eigenkets ausgedrückt, solange Sie die Richtung des Felds nicht physisch ändern.

Bisher haben wir uns ausschließlich mit quantenmechanischer Rotation beschäftigt.

Sobald wir die „Bloch-Sphäre“ eingeführt haben, müssen wir die klassischen Bloch-Gleichungen einführen. Tatsächlich sind die Bloch-Gleichungen ohne Relaxation genau Generatoren infinitesimaler Rotationen, aber für dreidimensionale klassische Vektoren, insbesondere (im Fall der Magnetresonanz) der Magnetisierung. Ich versuche normalerweise (der Einfachheit halber), die klassische und die Quantenansicht in meinem Kopf getrennt zu halten - also denke ich an die Pauli-Matrizen als Rotieren eines einzelnen Spins und die Bloch-Matrizen als Rotieren eines Massenmagnetisierungsvektors, der die Resultierende von vielen Millionen umfasst einzelne Drehungen.

Ich betone jedoch, dass es keine logische Notwendigkeit gibt, die Dinge so zu sehen. Die einfache Ansicht ist, dass die Pauli-Matrizen eine Quantenrotation und die Bloch-Matrizen eine klassische Rotation ergeben. Nichtsdestotrotz werden Sie reine Quantendiskussionen sehen, die sich auch auf die Bloch-Sphäre beziehen – ich denke, das sollte Sie nicht verwirren.

Ich hoffe, das hilft ein bisschen; Zögern Sie nicht, um Klärung zu bitten.

In der Quantenmechanik ein "Beobachtbares" wie die Position eines Atoms,$\hat X$, wird durch einen hermiteschen Operator dargestellt. Eine "Beobachtbare" ist eine physikalische Größe, die Sie tatsächlich messen können, wie z. B. die Position. Die Eigenwerte dieses Operators sind die möglichen Messergebnisse.

In der Quantenmechanik wird ein "System" (eine physikalische Einheit mit messbaren Eigenschaften) wie ein Atom als in einem "Zustand" befindlich beschrieben, der als Vektor dargestellt wird, z.$|\Psi\rangle$, im selben Raum wie der oben erwähnte Operator.

Bei einer unendlichen Sammlung identisch präparierter Systeme, alle im selben Zustand, ist der Durchschnittswert, den Sie finden, wenn Sie die Observable auf jedem System messen

Das Ergebnis jeder einzelnen Messung, die Sie durchführen, muss am Ende tatsächlich einer der Eigenwerte des Operators sein, der die Messung darstellt.

Wenn Sie beispielsweise die Position messen, finden Sie möglicherweise den Wert$x_0$, was ein Eigenwert von ist$\hat X$. Und dann ist in diesem Fall der Zustand des Systems nach der Messung

Der Fall des Positionsoperators ist tatsächlich etwas komplizierter als der Fall von Spin 1/2 (aufgrund der Dimensionalität und der Nicht-Normierbarkeit).

Für den Fall von Spin

Weitere Informationen finden Sie in einem seriösen Buch über Quantenmechanik, das die Grundlagen behandelt. Beispielsweise "Quantum Mechanics" von Cohen-Tannoudji et al. oder „Quantum Mechanics“ von Messiah.

Zu deinen ersten Fragen:

Observablen entsprechen hermitischen (oder selbstadjungierten) Operatoren.

Als solche sind die Eigenwerte real, und diese Werte sind die möglichen Ergebnisse.

Auch aufgrund der Hermiteschen/Selbstadjungiertheit des Operators sind die Eigenvektoren orthogonal, wenn Sie Eigenvektoren mit unterschiedlichen Eigenwerten haben.

Sie kennen also die Werte, aber was passiert? Die kürzeste Geschichte ist, dass eine Messung den Vektor auf einen Eigenraum projiziert und Sie den Eigenwert erhalten , der diesem Eigenraum entspricht, und die relative Häufigkeit des Erhaltens unterschiedlicher Ergebnisse die relative quadratische Länge der Projektionen des ursprünglichen Vektors auf die orthogonalen Eigenräume ist. Und jedes Buch wird Ihnen das sagen. Um dies zu visualisieren, können Sie sich vorstellen, auf einen Eigenraum zu projizieren und dann wieder auf Einheitslänge zu skalieren (das ist also keine Drehung). Und stellen Sie sich vor, wenn Sie dies tun, erhalten Sie (irgendwie) den Eigenwert als Ergebnis, und dann können Sie sich vorstellen, dass dies wahrscheinlich auf irgendeine Weise mit einer Häufigkeit geschieht, die dem Verhältnis der quadratischen Länge nach der Projektion zur quadratischen Länge vor der Projektion entspricht Länge.

Aber du wolltest mehr. In welcher Beziehung steht die Messung zur einheitlichen Evolution? Zwei Teile bleiben gleich, wenn Sie den Prozess realistisch betrachten. Erstens sind die Endergebnisse tatsächlich orthogonal. Zweitens ist die experimentell beobachtete Frequenz gleich dem, was die quadratische Länge nach der Projektion über der quadratischen Länge vor der Projektion gewesen wäre, wenn es eine Projektion gegeben hätte. Schauen wir uns also jetzt an, was passiert.

Was passiert ist, dass sich das System gemäß der Schrödinger-Gleichung entwickelt. Und wir nennen etwas ein Maß, wenn es sich zu einer Summe orthogonaler Zustände entwickelt, die immer und ewig orthogonal bleiben wird. Ein üblicher Weg, um Orthogonalität zu erreichen, besteht darin, keine räumliche Überlappung zu haben, beispielsweise kann eine Stern-Gerlach-Vorrichtung den einzelnen Strahl in zwei nicht überlappende Strahlen ablenken. Wellenfunktionen befinden sich im Konfigurationsraum, und der Konfigurationsraum ist erstaunlich groß. Sobald also diese Strahlen beginnen, mit einer großen Anzahl verschiedener Partikel zu interagieren, um sie unterschiedlich zu bewegen, ist es unglaublich unwahrscheinlich, dass sich die Wellenpakete jemals wieder überlappen. Dies ist eine Voraussetzung, um eine Evolution als Messung zu bezeichnen.

Die andere Sache, die Sie brauchen, ist, dass diese Wellenpakete (irgendwann, nachdem sie für immer orthogonal geworden sind) Eigenvektoren zum Beobachtbaren sind. So muss zum Beispiel im Stern-Gerlach der Spin-(Bi-)Vektor für die zwei räumlich nicht überlappenden Strahlen polarisiert werden, alle drehen sich in einem Strahl nach oben und alle drehen sich in dem anderen Strahl nach unten. Wie kommt es dazu? Nun, der Hamiltonoperator für ein inhomogenes Magnetfeld tut dies natürlich, ein Beispiel ist verfügbar unter [ http://dx.doi.org/10.1119/1.4848217](dieser nette Artikel im American Journal of Physics), [ http:// arxiv.org/abs/1305.1280] (arxivAusführung). Wenn Sie den Artikel nicht lesen möchten, die Pointe ist, dass sich der einzelne Strahl gabelt und ein Volumen in die eine und ein Volumen in die andere Richtung geht und die relative Lautstärke davon abhängt, wie viel der ursprüngliche Zustand von oben und hatte nach unten, und das gesamte Volumen, das in eine Richtung geht, polarisiert den Spin in die eine Richtung, und jeder Teil des Volumens, der in die andere Richtung geht, polarisiert den Spin in die andere Richtung. So erhalten Sie buchstäblich die Wiederholbarkeit identischer Messungen und die relativen Brüche. Alles aus der Schrödinger-Gleichung.

So läuft eine Messung ab, und das erlaubt auch schwache Messungen, was oft tatsächlich passiert und manchmal auch gewollt ist. Außerdem ist es das, was durch die eigentlichen Evolutionsgleichungen beschrieben wird. Und das wird vom Labor beobachtet, und es erfordert, dass Sie tatsächlich mit dem System interagieren, um eine Messung durchzuführen, anstatt mit den Händen zu winken und zu hoffen, dass eine Messung stattfindet.

Aber was ist mit den Wahrscheinlichkeiten? Wenn die Strahlen abgelenkt und polarisiert werden, ist die quadrierte Norm jeder abgelenkten Welle gleich dem, was die quadratische Länge nach der Projektion über der quadratischen Länge vor der Projektion gewesen wäre, wenn es eine Projektion gegeben hätte. Dieser Teil wird also bereits von der Schrödinger-Gleichung erledigt.

Aber da alle Strahlen nach der Schrödinger-Gleichung existieren, könnte es so aussehen, als hätte keine Messung stattgefunden. Schließlich ging ein Teil des Strahls nach links und ein Teil nach rechts. Aber die Strahlen sind nicht nur orthogonal, sie müssen immer und ewig orthogonal bleiben, was eigentlich erfordert, dass jeder jetzt so tut, als ob der andere nicht existiert. Jede Welle befindet sich im Konfigurationsraum, dem Konfigurationsraum jedes Teilchens im gesamten Universum, also hat das Universum jetzt zwei Teile, von denen jeder so wirkt, als ob er ganz für sich allein wäre, genau in dem Sinne, in dem die Messung "passiert" ist „Mit unterschiedlichen Ergebnissen. Es gibt jetzt Teile der Wellenfunktion, die alle unabhängig voneinander agieren. Und es schadet nichts, wenn die Leute in jedem Teil (deren Teilchen Teil des Konfigurationsraums sind) sich jeweils entscheiden, so zu tun, als ob die anderen Teile keine Rolle spielen würden. Sie können also jederzeit an die Existenz der anderen Teile zweifeln, und es wird nichts über die Entwicklung ihres Teils der Welle widersprechen.

Genau aus diesem Grund habe ich die Verhältnisse von Nachprojektion und Vorprojektion beschrieben. Wenn Sie Ihr Teil neu skalieren möchten, weil es niemals von den anderen Teilen beeinflusst wird, ändert es nichts. Die Gesamtnorm beeinflusst nichts, nur relative Größen sind wichtig, und selbst dann beeinflusst sie nur die Mathematik, wenn die Wellen nicht orthogonal sind. An einem Punkt können Sie also neu skalieren (oder nicht) und an einem bestimmten Punkt können Sie so tun, als ob eine Messung stattgefunden hat (solange sie jetzt orthogonal sind, für immer orthogonal bleiben und sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in getrennten Eigenräumen befanden).