Problem der Spineigenwerte und Eigenvektoren. Ist das der richtige Lösungsweg?

Ein Elektron wird durch den Hamiltonoperator beschrieben

$H=\frac{e}{mc}\bar{S}\cdot\bar{B}$

Wo$\bar{S} =(S_x,S_y,S_z)$ist der Spinoperator und$\bar{B}$das Magnetfeld.

Für$t>0$ $\bar{B}=B_0\hat{x}$und für$t=0$das Elektron befindet sich im Zustand$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt3}|+\rangle+\frac{\sqrt2}{\sqrt3}|-\rangle$, mit$|+\rangle$Und$|-\rangle$Eigenvektoren des Operators$S_z$(mit Eigenwerten$\pm \frac{\hbar}{2}$).

Ich möchte die zeitliche Entwicklung des Zustands bestimmen.

Seit$B$entlang x ist, gibt mir das Skalarprodukt$S_xB_0$und ich weiß, dass der Betreiber$S_x$wird durch die Matrix dargestellt$\frac{\hbar}{2}\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$.

Zur Bequemlichkeit$\frac{e\hbar B_0}{2mc}=\epsilon$.

Nun, um alle Berechnungen zu vermeiden (in der Hoffnung, dass ich sie richtig gemacht habe), habe ich die Eigenwerte und Eigenvektoren meines Operators gefunden, indem ich die Gleichung aufgestellt habe:

$H(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)=E(\alpha|+\rangle+\beta|-\rangle)$

Aus denen die Eigenwerte stammen$\epsilon$Und$-\epsilon$, und die jeweiligen Eigenvektoren (die die Beziehung zwischen bestimmen$\alpha$Und$\beta$und Normalisierung) sind:

$|\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle$

$|\psi_2\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle$

Jetzt muss ich den Zustand ausdrücken$|\psi\rangle$als Kombination der beiden Eigenvektoren:

$|\psi\rangle=\frac{\sqrt2+2}{2\sqrt3}|\psi_1\rangle+\frac{\sqrt2-2}{2\sqrt3}|\psi_2\rangle$

Und die Zeitentwicklung ist:

$|\psi(t)\rangle=\frac{\sqrt2+2}{2\sqrt3}|\psi_1\rangle \exp[{-i\frac{\epsilon}{\hbar}t}]+\frac{\sqrt2-2}{2\sqrt3}|\psi_2\rangle \exp[{i\frac{\epsilon}{\hbar}t}]$

So habe ich das Problem gelöst, aber da ich ziemlich neu in der Quantenmechanik bin, hätte ich gerne einige Meinungen.

Ist das ein sinnvolles Vorgehen? Habe ich einige schreckliche Fehler oder unsinnige Überlegungen gemacht?