Eigenwerte des Hamilton-Operators für ein System mit drei interagierenden Spin-Freiheitsgraden mit Spin-1/2

Question

Eigenwerte des Hamilton-Operators für ein System mit drei interagierenden Spin-Freiheitsgraden mit Spin-1/2

hbar-gal

Ich habe drei wechselwirkende Spin-1/2-Teilchen und möchte die Energie-Eigenwerte von H finden. Der Hamilton-Operator für das System ist $H = \frac{J}{\hbar^2}(S_1\cdot S_2+S_2\cdot S_3+S_3\cdot S_1)$ (wobei J positiv ist und Energieeinheiten hat) und $S_{tot} = S_1+S_2+S_3$ Und $S_{tot}^2 = S_{tot} \cdot S_{tot}$ . Ich habe den Hamiltonian mit ausgedrückt $S_{tot}^2$ als

$H = \frac{J}{2\hbar^2}(S_{tot}^2-S_1^2-S_2^2-S_3^2)$ Womit ich zu kämpfen habe, ist zum Beispiel die Verwendung dieses neuen Hamilton-Operators $H|\uparrow \downarrow \downarrow \rangle$ und alle anderen Spin-Kombinationen. Das ist mir mit dem ersten Ausdruck für den Hamiltonoperator gelungen, aber nicht mit dem neuen.

Und $S_1 = S\otimes I \otimes I$ , $S_2 = I \otimes S\otimes I$ , $S_3 = I \otimes I\otimes S$

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Eigenwerte des Hamilton-Operators für ein System mit drei interagierenden Spin-Freiheitsgraden mit Spin-1/2

Gregor Winter · Answer 1

Die Energieeigenwerte sind durch die Spinquantenzahl as gegeben $S^2\mid\psi\rangle=s(s+1)\hbar^2\mid \psi\rangle$ . Für ein System aus drei Spins haben wir beides $s_{tot}=\frac{3}{2}$ oder $s_{tot}=\frac{1}{2}$ , während $s=\pm\frac{1}{2}$ . Für ein allgemeines Drei-Spin-System sind die Energieeigenwerte von $H$ muss sein, z $s_{tot}=\frac{3}{2}, s=\frac{1}{2}$ ;

$\frac{J}{2\hbar^2}(S_{tot}^2-(S_1^2+S_2^2+S_3^2))\mid\psi\rangle = \frac{J}{2\hbar^2}\left(\frac{3}{2}(\frac{3}{2}+1)\hbar^2 - 3\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)\hbar^2\right)\mid\psi\rangle = J\frac{3}{4}\mid\psi\rangle$ .

Der Rest sollte relativ geradlinig sein. Übrigens hatten Sie einen kleinen Fehler im zweiten Hamiltonschen Ausdruck.

Also wann $s=1/2$ , wären die Energieeigenwerte negativ, also können wir diese Zustände vernachlässigen?
Gar nicht. Dass ein Energieeigenwert negativ ist, bedeutet nicht, dass er falsch ist und vernachlässigt werden kann. Ich denke, dass dieser Hamilton-Operator ein Interaktions-Hamilton-Operator ist und daher nur ein Teil des vollständigen Hamilton-Operators. Negative Energie ist in Ordnung, solange mehr an dem Problem dran ist.
Weil wenn $s_{tot} =+/- 1/2$ , wird es eine Zustandsänderung geben, also gibt es dann keinen Eigenzustand?
$s_{tot}$ kann niemals negativ werden, da seine Komponenten die Spindrehimpulszahl sind $s_i$ ist nie negativ. Möglicherweise verwechseln Sie es mit der Projektionsspin-Quantenzahl ( $-s\leq m_s \leq s$ ).

Eigenwerte des Hamilton-Operators für ein System mit drei interagierenden Spin-Freiheitsgraden mit Spin-1/2

hbar-gal

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