Störungsmethode & Eigenwerte

Ich habe ein Problem, aber ich verstehe die Frage nicht. Es sagt:

"Zeigen Sie, dass die Eigenwerte in erster Energieordnung unverändert bleiben." Was bedeutet das? Es bedeutet, dass wenn der Hamiltonoperator die Form hat

H = H ( 0 ) + λ H ( 1 )

Wo H ( 0 ) ist der Hamiltonoperator des ungestörten Systems, H ( 1 ) ist die Störung und λ ein kleiner Parameter ist, dann wenn

E N = E N ( 0 ) + λ E N ( 1 )

Wo

E N ( 1 ) = ⟨ ψ M ( 0 ) | H ( 1 ) | ψ M ( 0 ) ⟩

Das muss ich zeigen

E N ( 1 ) = 0
?

Ich bin verwirrt. Danke für deine Antworten.

Das kann nicht stimmen. Wenn H ( 1 ) = 1 ist skalar, dh H = H ( 0 ) + ϵ 1 , die Eigenvektoren bleiben unverändert, und die Eigenwerte werden um verschoben λ = ϵ : E N = E N ( 0 ) + ϵ , So E N ( 1 ) = ϵ .
Ich glaube, ich verstehe Ihren Kommentar, aber ich denke, das ist nicht meine Frage, oder ich verstehe es nicht. Mit Ihrer Vermutung schließen Sie, dass die Eigenwerte verschoben, aber nicht unverändert sind.
Exakt. Das Gegenbeispiel zeigt, dass Sie die Frage falsch verstanden haben. Welches spezifische Ergebnis Sie auch immer beweisen wollen, es muss in dem von mir erwähnten spezifischen Fall gelten, damit es eine Chance hat, allgemein zu gelten.
Ach ja, aber H ( 1 ) ist tatsächlich nicht konstant H ( 1 ) = − F X Und H ( 0 ) ist der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators.

Antworten (1)

Wie ich in den Kommentaren erwähnt habe, ist die Behauptung, dass E N ( 1 ) ≡ 0 kann im Allgemeinen nicht gelten, da ihm eine skalare Störung nicht gehorcht.

Für den von Ihnen erwähnten Sonderfall einer linearen Störung eines harmonischen Oszillators gilt dies jedoch. Der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, dass die Störung in das Oszillatorpotential aufgenommen werden kann, um einen anderen, verschobenen, harmonischen Oszillator zu erhalten:

1 2 M ω 2 X 2 − F X = 1 2 M ω 2 ( X − F M ω 2 ) 2 − F 2 2 M ω 2 .
Dieser wird in seiner Position verschoben, was für diese Zwecke irrelevant ist (obwohl er definitiv die Eigenfunktionen beeinflusst!), und er wird in Energie um verschoben − F 2 2 M ω 2 ∝ F 2 . Somit findet keine Energieverschiebung erster Ordnung statt.

Was Ihre Frage betrifft, brauchen Sie jedoch ein störungstheoretisches Argument, das dies beweist, und das müssen Sie aufbauen. Das Wesentliche dabei ist, Parität zu denken: im Erwartungswert

E N ( 1 ) = ⟨ ψ M ( 0 ) | H ( 1 ) | ψ M ( 0 ) ⟩
die Eigenfunktionen haben eine bestimmte Parität, ebenso wie die Störung. Was bedeutet das?

Übrigens, wenn man die Parität der Eigenfunktionen verwendet, ist es offensichtlich, dass der Integrand von E M ( 1 ) = ⟨ ψ M ( 0 ) | H ( 1 ) | ψ M ( 0 ) ⟩ ist seltsam (weil H ( 1 ) ∝ X ), und wegen der symmetrischen Integrationsgrenzen ist das Ergebnis das E M ( 1 ) = 0 und dann kommen wir zu dem Schluss, dass wir die erste Bestellung haben E N = E N ( 0 ) , dh die Eigenwerte bleiben unverändert. Danke!
Es gibt ein noch einfacheres Paritätsargument. Weil H ( 0 ) ist sogar die Abhängigkeit der gestörten Energien von F sollte für das paritätsumgekehrte Problem genau gleich sein. Dies entspricht der gleichen Störung mit einem umgekehrten Feld, was bedeutet, dass die Abhängigkeit der gestörten Energien von F muss eben sein. Dann muss der lineare Term verschwinden.
Störungsmethode & Eigenwerte
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v