Eigenenergien und Eigenkets bei gegebenem Hamiltonoperator

Für ein Zwei-Niveau-System ist der Hamiltonoperator:

H = A ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | + | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | )

Wo A ist eine Zahl mit der Dimension einer Energie.

Ich muss die Energieeigenwerte und die entsprechenden Eigenkets finden (als Kombination von | 1 ⟩ Und | 2 ⟩ ).

Ich benutzte:

H | ψ ⟩ = E | ψ ⟩
Und mit der Tatsache, dass: | A ⟩ = ∑ ich C ich | A ich ⟩

Ich hab geschrieben | ψ ⟩ als Kombination der beiden Systemkets | ψ ⟩ = C 1 | 1 ⟩ + C 2 | 2 ⟩ ( C 1 , C 2 sind komplexe Zahlen).

So

H | ψ ⟩ = A ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | + | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) ⋅ ( C 1 | 1 ⟩ + C 2 | 2 ⟩ ) = A ( C 1 | 1 ⟩ − C 2 | 2 ⟩ + C 2 | 1 ⟩ C 1 | 2 ⟩ ) = A ( ( C 1 + C 2 ) | 1 ⟩ + ( C 1 − C 2 ) | 2 ⟩ ) = E | ψ ⟩ .
Wie mache ich weiter?

Schreibe es in Matrixschreibweise auf. Dieses Problem kann Ihnen bekannter vorkommen, wenn Sie dies tun.

Antworten (2)

Das Finden von Eigenwerten von Matrizen ist ein unkomplizierter Prozess. Um dieses Problem zu lösen, beginnen wir damit, den Hamilton-Operator in Form einer Matrix in der Basis von zu schreiben | 1 ⟩ Und | 2 ⟩ .

Um die Matrixform einer beliebigen linearen Transformation in der linearen Algebra zu finden, können wir die Transformation auf die Basisvektoren anwenden. In unserem Fall finden wir H | 1 ⟩ Und H | 2 ⟩ :

H | 1 ⟩ = A ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | + | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) | 1 ⟩ = A ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ − | 2 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 2 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ )

Seit | 1 ⟩ Und | 2 ⟩ orthonormale Basisvektoren sind, wissen wir, dass das innere Produkt zweier verschiedener Vektoren 0 ist und die gleichen Vektoren 1. Wir können diese Tatsache nutzen, um das Obige stark zu vereinfachen:

A ( | 1 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ − | 2 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⟨ 2 | 1 ⟩ + | 2 ⟩ ⟨ 1 | 1 ⟩ ) = A ( | 1 ⟩ + | 2 ⟩ )

Das zeigt ein ähnlicher Prozess

H | 2 ⟩ = A ( | 1 ⟩ − | 2 ⟩ )

Nun können wir den Hamiltonoperator als Matrix in die bereitgestellte Basis schreiben:

H = A [ 1 1 1 − 1 ]

Finden Sie die Eigenvektoren dieser Matrix, um die Eigenkets zu bestimmen.

(Übrigens werden Ihnen vielleicht einige Parallelen zwischen dem gegebenen Hamilton-Ausdruck und der berechneten Hamilton-Matrix auffallen. Denken Sie darüber nach, wie dies verwendet werden könnte, um den Prozess des Findens der Hamilton-Matrix für Probleme in diesem Format zu beschleunigen.)

H | ψ ⟩ = . . . = A ( ( C 1 + C 2 ) | 1 ⟩ + ( C 1 − C 2 ) | 2 ⟩ ) = E | ψ ⟩ .

Jetzt müssen Sie sich nur noch daran erinnern, wie Sie definiert haben | ψ ⟩ . Wenden Sie diese Definition in der obigen Gleichung an und wissen Sie das | 1 ⟩ Und | 2 ⟩ unabhängig sind, können Sie leicht finden C ich .

Eigenenergien und Eigenkets bei gegebenem Hamiltonoperator
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