Gibt es mehrere äquivalente Möglichkeiten, einen Eigenzustand zu schreiben?

Mein Problem hier ist also, dass ich verwirrt bin, wie ich nach den Eigenzuständen auflösen soll, die bestimmten Eigenwerten entsprechen.

Für mein Problem habe ich den Hamiltonian

H = E 0 ( 3 5 ich − 5 ich 3 )
was die Eigenwerte liefert E 1 = 8 E 0 Und E 2 = − 2 E 0

Jetzt setze ich diese Eigenwerte wieder in die Eigenwertgleichung für das Problem ein ( H − E N ICH ) | E N ⟩ = 0 was gibt

(1) A N ( 3 E 0 − E N ) + B N ( 5 ich E 0 ) = 0 (2) − A N ( 5 ich E 0 ) + B N ( 3 E 0 − E N ) = 0
wo ich vertreten habe | E N ⟩ als | E N ⟩ = ( A N B N ) . Ich benutze Gleichung (2) und komme zu
(3) A N = − ich B N ( 3 E 0 − E N ) 5 E 0 A 1 = ich B 1
Jetzt kommt hier meine Verwirrung ins Spiel. Ich kann beides einstecken A 1 in den Normalisierungszustand
| A 1 | 2 + | B 1 | 2 = 1
folgendermaßen
| ich B 1 | 2 + | B 1 | 2 = 1 | B 1 | 2 = 1 2 ⇒ A 1 = ich 2
Und
| E 1 ⟩ = 1 2 ( ich 1 )
oder ich kann Gleichung (3) wie folgt umstellen
B 1 = − ich A 1
und Stecker B 1 in den Normalisierungszustand zu bekommen
| A 1 | 2 = 1 2 B 1 = − ich 2
was gibt
| E 1 ⟩ = 1 2 ( 1 − ich )

Sind diese Eigenzustände also äquivalent oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Gibt es eine bestimmte Variable ( A 1 oder B 1 in diesem Fall), die wir zuerst in die Normalisierungsbedingung einsetzen sollen?

Sie unterscheiden sich nur durch einen Phasenfaktor, beachten Sie, dass der zweite ist − ich mal das erste.
Aber gibt es eine Präferenz für die Wahl eines gegenüber dem anderen? Die Lösung meines Professors für dieses Problem ergab die zweite.
@Elvis Es ist generell egal, schon gar nicht bei so einem Problem. Für einige Klassen von Problemen gibt es Phasenkonventionen , aber in diesen Fällen wird Ihnen gesagt, was sie sind.
Beachten Sie, dass ein Ket nicht mit einem Zustand identisch ist - ein Zustand ist ein Strahl im Hilbert-Raum, in dem die Kets e ich ϕ | ψ ⟩ gehören zum selben Strahl.

Antworten (1)

Wenn | ψ ⟩ ist ein Eigenzustand von Λ ^ , dann ist es so a | ψ ⟩ für jeden Komplex a seit

Λ ^ a | ψ ⟩ = a Λ ^ | ψ ⟩ = a λ | ψ ⟩ = λ ( a | ψ ⟩ ) .

Die Normalisierung fixiert die a 's von der Form sein e ich φ , aber Sie können es nicht besser machen, dh wenn | ψ ⟩ ist dann ein normierter Eigenvektor e ich φ | ψ ⟩ ist ein ebenso gültiger normalisierter Eigenvektor.

Physikalische Größen wie Durchschnittswerte des Typs ⟨ ψ | Ö ^ | ψ ⟩ nicht auf die verlassen e ich φ Phase, also ist es unwichtig , wie Sie diesen Gesamtfaktor wählen.

In Ihrem Fall unterscheiden sich Ihre beiden Eigenvektoren um einen Gesamtfaktor von − ich , was genau der Form entspricht e ich φ . Du kannst trainieren φ von dir selbst.

Das ist es freilich nicht e ich ϕ | ψ ⟩ ist ein ebenso gültiger Zustand , das ist es e ich ϕ | ψ ⟩ gehören zum selben Strahl, dh zum selben Zustand .
@AlfredCentauri Schöne Beobachtung. Ich habe „eigenstate“ in „eigenvector“ geändert, um Ihrem Kommentar Rechnung zu tragen.
Gibt es mehrere äquivalente Möglichkeiten, einen Eigenzustand zu schreiben?
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