Determinante und Adjunkte von k−ω2mk−ω2mk-\omega^2m in Bezug auf Eigenfrequenzen

Die Determinante ist ziemlich einfach zu berechnen. Sie kennen im Wesentlichen bereits die Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix; Genauer gesagt kennen Sie die Eigenwerte der Matrix$\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}$, weil das$\omega_i$sind Nullstellen der Gleichung

$$0=\det(\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}-\omega^2).$$ (Die Ästhetischeren würden ersetzen $\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}$mit $\mathbf{m}^{-1/2}\mathbf{k}\,\mathbf{m}^{-1/2}$um eine hermitesche Matrix zu erhalten, aber egal.) Wenn Sie die zweite Determinante in der entsprechenden Eigenbasis ausdrücken, erhalten Sie $$\det(\mathbf{k}-\mathbf{m}\,\omega^2)=\det(\mathbf{m})\det(\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}-\omega^2) =\frac{m^3}2\det\begin{pmatrix} \omega_1^2-\omega^2 & 0 & 0 \\ 0 & \omega_2^2-\omega^2 & 0 \\ 0 & 0 & \omega_3^2-\omega^2 \end{pmatrix},$$ die Ihrem Lehrbuch Ausdruck verleiht. Allgemeiner ausgedrückt ist dies ein Ausdruck des Prinzips, dass die Determinante einer Matrix das Produkt ihrer Eigenwerte ist.

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Das Adjunkt hingegen erfüllt (meines Wissens) keine so schöne Beziehung; auf jeden Fall ist es ein übles Biest, mit dem man sich auseinandersetzen muss, und ich denke, dass nur wenige Leute vernünftigerweise die Definition ersetzen$k=m\omega_2^2/2$von$\omega_2$anstatt$k$.

Ich vermute, Sie sind von der Fülle von Variablen überwältigt, die die grundlegende zyklometrische Symmetrie des Problems verschleiern. Sie können alle bis auf einen aus der symmetrischen Matrix M skalieren , von deren (symmetrischer) Umkehrung Sie tatsächlich einen Teil suchen, indem Sie sie neu definieren

$${\bf{M}} \equiv {\bf{k}}-\omega^2 {\bf{m}}= -k \left[\begin{matrix} 2(x-1) & 1 & 0 \\ 1 & 2(x-1) & 1 \\ 0 & 1 & x-1 \end{matrix}\right],$$ Wo $x\equiv\frac{\omega^2 m}{2k}$.

Die zyklometrische (Mercedes-Benz) Symmetrie ihrer Eigenwerte ist dann aus ihrer einfachen Determinante ersichtlich, wenn man darin die Dreifachwinkelformel für den Sinus erkennt,$\det {\bf M}= - k^3 (x-1)(4(x-1)^2-3)= - k^3 (x-1)(x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}) (x-1+\frac{\sqrt{3}}{2})$, die die Sinus der 3 Einheitswurzeln anzeigt. Dieses Ergebnis ist nur nützlich, um das kubische Polynom aus der Inversen von M herauszufaktorisieren , von dem Sie wissen, dass es möglich ist, da das Adjugat adj M = det M M ist$^{-1}$ist ein Polynom in x und kein Verhältnis von Polynomen.

Trotzdem ist es einfacher, direkt die 3. Spalte der Umkehrung zu finden (was alles ist, was Sie für Ihre Lösung benötigen), indem Sie nach den drei trivialen Bedingungen nur der 3. Spalte von lösen${\bf M ~ M}^{-1}={\bf I}$. Sie wissen aus der obigen Diskussion, dass Ihre Antwort einen Umkehrfaktor von haben muss$(x-1)(x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}) (x-1+\frac{\sqrt{3}}{2})$darin die Resonanzen des Systems zusammenfassend, auf die es geprüft wird; und die Transponierung dieser 3. Spalte des Adjugats ist einfach$k^2 (1, 2(1-x), 4(1-x)^2-1)$, was nur der Ausdruck Ihres Lehrbuchs ist, und natürlich auch Ihrer, sobald die Wurzeln der Determinante, die Nullen, eingesteckt sind. Der letzte Eintrag ist$k^2((x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}) (x-1+\frac{\sqrt{3}}{2}) +2)$, Natürlich.

Auch wenn dies, wie Kyle Kanos in dem Kommentar argumentiert, streng genommen ein Problem der linearen Algebra ist, sind die verwendeten Symmetrietechniken und die verwendete Methodik das A und O der Physik, und man könnte durchaus argumentieren, dass Physiker normalerweise schneller, wenn nicht sogar besser damit umgehen können diese.

Akademischer Overkill PS : Wenn Sie über den Rahmen Ihres Problems hinaus an der vollständigen Umkehrung interessiert waren, die hier nutzlos ist, müssen Sie nur die obige trigonometrische Beobachtung ausnutzen und die Variablen ein letztes Mal ändern.$x-1\equiv \sin \phi$, die im Wesentlichen von der Zyklometrie des Problems bestimmt wird. Dann ist es einfach zu beobachten, dass das Adjugat eigentlich elegant ist,

$${\bf{I}} = \left[\begin{matrix} 2\sin \phi & 1 & 0 \\ 1 & 2\sin \phi & 1 \\ 0 & 1 & \sin \phi \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -\cos (2\phi) & -\sin \phi & 1 \\ -\sin \phi & 2\sin^2 \phi & -2\sin \phi \\ 1 & -2\sin \phi & 1-2\cos(2\phi) \end{matrix}\right] ~ {\Large /}\sin (3\phi),$$ die natürlich die obige Antwort enthält.