Energieeigenwert für SHO Classical und Quantum

Question

Energieeigenwert für SHO Classical und Quantum

Benutzer193422

Nehmen wir an, wir erhalten ein Potential für einen gekoppelten harmonischen Oszillator:

U = \frac{k_{1} (X_{1}^{2} + X_{3}^{2}) + k_{2} X^{2} + k_{3} (X_{1} X_{2} + X_{2} X_{3})}{2}

$U = \frac{k_1(x_1^2 +x_3^2)+k_2 x^2+k_3 (x_1x_2 + x_2x_3)}{2}$

Wenn ich die normalen Modi des Oszillators auflöse, bekomme ich die Frequenz

ω_{1} = \sqrt{\frac{k_{1}}{M}}

$\omega_1 = \sqrt{\frac{k_1}{m}}$

ω_{2} = \sqrt{\frac{k_{1} + k_{2}}{M}}

$\omega_2 = \sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$

ω_{3} = 0

$\omega_3 = 0$

Nachdem ich dieses Problem studiert habe, wollte ich es in Bezug auf die Quantenmechanik studieren. wo wir den vollständigen Hamiltonian schreiben können:

H = \frac{1}{2} M {\dot{X}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} M {\dot{X}}_{2}^{2} + \frac{1}{2} M {\dot{X}}_{3}^{2} + \frac{k_{1} (X_{1}^{2} + X_{3}^{2}) + k_{2} X^{2} + k_{3} (X_{1} X_{2} + X_{2} X_{3})}{2}

$H = \frac{1}{2} m\dot x_1^2 + \frac{1}{2} m\dot x_2^2 + \frac{1}{2} m\dot x_3^2 +\frac{k_1(x_1^2 +x_3^2)+k_2 x^2+k_3 (x_1x_2 + x_2x_3)}{2}$

Wie groß wäre der energetische Eigenwert des Systems? Kann ich der Studie folgen (ich meine die Frequenzen, die wir bereits gefunden haben) und die Energiegleichung aufschreiben?

Wird der Energieeigenwert sein $E = (n_x + 1/2) \hbar \omega_1+(n_y + 1/2) \hbar \omega_2+(n_z + 1/2) \hbar \omega_3$ ?

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Energieeigenwert für SHO Classical und Quantum

ZeroTheHero · Answer 1

Vermutlich wirst du eine kinetische Rolle dabei haben $\dot{x}_3^2\sim p_3^2$ . Soweit die Verwandlung von der $x_i$ 's zu den verallgemeinerten Koordinaten $Q_i$ 's, die die Bewegungsgleichungen entkoppeln, sollten auch Ihren Hamilton-Operator in die Form einer einfachen Summe bringen

H = \sum_{ich} \frac{P_{ich}^{2}}{2 M} + \frac{1}{2} M ω_{ich}^{2} Q_{ich}^{2}

$H=\sum_i \frac{P_i^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_i^2 Q_i^2$ woraus man (einfach) die Eigenwerte finden kann.

Eine Frage, meinst du $\dot Q_i= x_1, x_2, x_3$ ? und meinten Sie auch, dass der Energieeigenwert wäre: $E = (n_x + 1/2) \hbar \omega_1+(n_y + 1/2) \hbar \omega_2+(n_z + 1/2) \hbar \omega_3$
nein ich meine, dass die normalen Koordinaten $Q_i$ werden lineare Kombinationen der ursprünglichen Koordinaten sein $x_j$ damit die neuen Koordinaten genügen $\ddot Q_i=-\omega_i^2 Q_i$ .

Eli · Answer 2

mehr Details :

Die Bewegungsgleichungen in Ihrem Fall lauten:

\begin{matrix} (1) & \ddot{\vec{Q}} + \frac{\partial U}{\partial \vec{Q}} = 0 \end{matrix}

$\ddot{\vec{q}}+\frac{\partial U}{\partial \vec{q}}=0\tag 1$

Wo $\vec{q}$ ist der Vektor der verallgemeinerten Koordinaten und $U$ ist die potentielle Energie

Wenn $\frac{\partial U}{\partial \vec{q}}$ ist eine lineare Funktion von $\vec{q}$ Sie können Gleichung (1) schreiben als:

\begin{matrix} (2) & \ddot{\vec{Q}} + C \vec{Q} = 0 \end{matrix}

$\ddot{\vec{q}}+C\,\vec{q}=0\tag 2$

Wo $C$ ist eine quadratische konstante Matrix:

$C=\frac{\partial}{\partial \vec{q}}\left(\frac{\partial U}{\partial \vec{q}}\right)$

Gleichung (2) in Diagonalform mit der Transformationsmatrix umzuwandeln $T$ berechnen wir die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix $C$ .

mit $\vec{q}=T\,\vec{Q}$ Und $T=\left[\vec{E}_{v1}(\lambda_1)\,,\vec{E}_{v2}(\lambda_2)\,,\ldots\right]$ die Transformationsmatrix. ,Wo $\lambda_i$ sind die Eigenwerte der Matrix $C$ Und $\vec{E}_{vi}$ sind die Eigenvektoren. erhalten wir für Gleichung (2)

\begin{matrix} (3) & T \ddot{\vec{Q}} + C T \vec{Q} = 0 \end{matrix}

$T\ddot{\vec{Q}}+C\,T\,\vec{Q}=0\tag 3$

Gleichung (3) mit multiplizieren $T^T$ wir bekommen:

\begin{matrix} (4) & T^{T} T \ddot{\vec{Q}} + T^{T} C T \vec{Q} = 0 \end{matrix}

$T^T\,T\ddot{\vec{Q}}+T^T\,C\,T\,\vec{Q}=0\tag 4$

Weil $T^T\,T=I$ Einheitsmatrix und $T^T\,C\,T=\text{Diag}\left[\lambda_1\,,\lambda_2\,,\ldots\,,\lambda_n\right]$ diagonale Form, bekommen wir

\ddot{Q_{ich}} + λ_{ich} Q_{ich} = \ddot{Q_{ich}} + ω_{ich}^{2} Q_{ich} = 0

$\ddot{{Q}_i}+\lambda_i\,Q_i=\boxed{\ddot{{Q}_i}+\omega_i^2\,Q_i=0}$

Beispiel:

$U=1/2\,{\it k1}\, \left( {x_{{1}}}^{2}+{x_{{3}}}^{2} \right) +1/2\,{\it k2}\,{x_{{2}}}^{2}+1/2\,{\it k3}\, \left( x_{{1}}x_{{2}}+x_{{2}}x_{{3} } \right)$

$\Rightarrow$

$C=\left[ \begin {array}{ccc} {\it k1}&1/2\,{\it k3}&0 \\ 1/2\,{\it k3}&{\it k2}&1/2\,{\it k3} \\ 0&1/2\,{\it k3}&{\it k1}\end {array} \right]$

Eigenwerte:

$\vec{\lambda}=\left[ \begin {array}{c} {\it k1}\\ 1/2\,{\it k1}+1 /2\,{\it k2}+1/2\,\sqrt {{{\it k1}}^{2}-2\,{\it k2}\,{\it k1}+{{\it k2 }}^{2}+2\,{{\it k3}}^{2}}\\ 1/2\,{\it k1}+1/2\,{\it k2}-1/2\,\sqrt {{{\it k1}}^{2}-2\,{\it k2}\,{\it k1}+{{\it k2}}^{2}+2 \,{{\it k3}}^{2}}\end {array} \right]$

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Benutzer193422

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Benutzer193422

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ZeroTheHero

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