Gekoppelter harmonischer Oszillator - Lösen durch Diagonalisierung [geschlossen]

Ich habe ein Problem, bei dem ich zwei massive Partikel habe M und ein Teilchen mit Masse M < M . Die beiden äußeren Teilchen sind mit dem mittleren über zwei Federn gekoppelt. Der Hamiltonoperator für das System ist gegeben durch:

H = P 1 2 2 M + P 2 2 2 M + P 3 2 2 M + 1 2 k ( X 3 − X 1 − D ) 2 + 1 2 k ( X 2 − X 3 − D ) 2
( D ist die Länge der Feder im Gleichgewicht.) Ich habe ersetzt
Q 1 = X 1 Q 2 = X 2 − 2 D Q 3 = X 3 − D
und schrieb das Potential als Matrixgleichung um:
k 2 Q → T A Q →
mit
A = ( 1 0 − 1 0 1 − 1 − 1 − 1 1 ) Q → = ( Q 1 Q 2 Q 3 )
Ich kann diagonale Darstellung finden:
A = ( 1 0 0 0 1 + 2 0 0 0 1 − ( 2 ) )
Mit den entsprechenden Eigenvektoren
( − 1 1 0 ) ( − 1 2 − 1 2 1 ) ( 1 2 1 2 1 )

Dies bedeutet wahrscheinlich, zu neuen Koordinaten zu wechseln

j 1 = − Q 1 + Q 2 j 2 = − 1 2 Q 1 − 1 2 Q 2 + Q 3 j 3 = 1 2 Q 1 + 1 2 Q 2 + Q 3

Aber was mache ich mit den Impulsoperatoren. Sie sollten sich entsprechend ändern, aber ich bin verwirrt, wie genau

Antworten (2)

I) Wie OP angemerkt hat, reicht es nicht aus, die Impulsvariablen zu vergessen und nur die Positionsvariablen zu diagonalisieren. Vielmehr sollte man nur symplektische Transformationen verwenden .

In der Tat, wenn ein semipositiver definiter quadratischer reeller Hamiltonoperator gegeben ist, kann man zeigen, dass es eine reelle symplektische Transformation gibt, die den Hamiltonoperator in Diagonalform bringt.

II) Weitere Hinweise:

  1. Mit dem Hamiltonian von OP

    (1) H   =   T + v , T   =   P 1 2 + P 2 2 2 M + P 3 2 2 M , v   =   k 2 ( Q 1 − Q 3 ) 2 + k 2 ( Q 2 − Q 3 ) 2 ,
    wählen Sie Positionstransformation des Formulars
    (2) Q +   =   Q 1 + Q 2 2 − Q 3 , Q −   =   Q 1 − Q 2 2 , Q 3   =   A 1 Q 1 + A 2 Q 2 + Q 3 ,
    Wo A 1 Und A 2 sind später zu bestimmende Konstanten.

  2. Erweitern Sie die Positionstransformation (2) zu einer kanonischen Transformation

    (3) Q ich   =   ∂ F 2 ( Q , P ) ∂ P ich , P ich   =   ∂ F 2 ( Q , P ) ∂ Q ich ,
    im Phasenraum für eine geeignete erzeugende Funktion F 2 ( Q , P ) vom Typ 2 .

  3. Korrigieren Sie die Konstanten A 1 Und A 2 damit die kinetische Energie T wird in den neuen Impulsvariablen diagonal P ich .

Verweise:

  1. VI Arnold, Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik, 2. Aufl., 1989; Anhang 6.
Wahrscheinlich sollte eine orthogonale Transformation ausreichen, um die Matrix dieser symmetrischen quadratischen Form (Hamiltonian) zu diagonalisieren. In üblichen klassischen Mechanikkursen werden Sie etwas über kanonische Transformationen lernen, aber Sie werden wahrscheinlich nichts über "symplektische Transformationen" hören, die die ersteren umfassen. Vielleicht kannst du das näher erläutern.
Eine orthogonale Transformation würde die symplektische Struktur nicht unbedingt respektieren.

Sie lösen die letzten 3 Gleichungen für die X ich und drücken Sie sie als Funktionen der Normalkoordinaten aus j ich . Dann differenzierst du diese Gleichungen und multiplizierst die Geschwindigkeiten mit den Massen M ich um die Impulse zu erhalten

P ich = M ich D X ich D T = M ich F ich ( D j 1 / D T , D j 2 / D T , D j 3 / D T )
Diese Ausdrücke für die Impulse in Bezug auf die neuen Koordinatengeschwindigkeiten, die Sie in den ursprünglichen Hamilton-Operator einfügen.

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