NNN-gekoppelte harmonische Quantenoszillatoren

Question

NNN-gekoppelte harmonische Quantenoszillatoren

Kaio

Ich möchte die Wellenfunktionen von finden $N$ gekoppelte harmonische Quantenoszillatoren mit dem folgenden Hamiltonian:

\begin{array}{rcl} H & = & \sum_{ich = 1}^{N} (\frac{P_{ich}^{2}}{2 M_{ich}} + \frac{1}{2} M_{ich} ω^{2} X_{ich}^{2} + \frac{κ}{2} (X_{ich} - X_{ich + 1})^{2}), X_{N + 1} = 0, \\ = & \frac{1}{2} P^{T} M P + \frac{1}{2} X^{T} K X, \end{array}

$\begin{eqnarray} H &=& \sum_{i=1}^N \left(\frac{p^2_i}{2m_i} + \frac{1}{2}m_i\omega^2 x^2_i + \frac{\kappa}{2} (x_i-x_{i+1})^2 \right)\,, \qquad x_{N+1}=0\,,\\ &=& \frac{1}{2}p^T Mp + \frac{1}{2}x^TKx\,, \end{eqnarray}$ Wo

M = diag (\frac{1}{m_{1}}, \dots, \frac{1}{m_{N}})

$M=\text{diag}(\frac{1}{m_1}, \cdots,\frac{1}{m_N})$ Und

K

$K$ ist reell symmetrisch

N \times N

$N\times N$ Matrix mit positiven Eigenwerten,

K = (\begin{matrix} k_{1}^{'} & - κ & 0 & \dots & 0 \\ - κ & k_{2}^{'} & - κ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & - κ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & k_{N - 1}^{'} & - κ \\ 0 & \dots & 0 & - κ & k_{N}^{'} \end{matrix})

$\begin{equation} K= \begin{pmatrix} k'_1& -\kappa & 0 & \cdots & 0 \\ -\kappa & k'_2& -\kappa & \ddots & \vdots \\ 0 & -\kappa & \ddots& \ddots & 0\\ \vdots & \ddots &\ddots & k'_{N-1}&-\kappa \\ 0&\cdots & 0 & -\kappa & k'_N \end{pmatrix} \end{equation}$ mit

k_{i}^{'} = m_{i} ω^{2} + 2 κ

$k'_i = m_i\omega^2+2\kappa$ Aber

k_{1, N}^{'} = m_{1, N} ω^{2} + κ

$k'_{1,N} = m_{1,N}\omega^2+\kappa$ . Indem man eine Basis wählt, die die Matrix diagonalisiert

K

$K$ , kann der Hamiltonian als Summe von ungekoppelten harmonischen Oszillatoren ausgedrückt werden.

Betrachten Sie als Beispiel zwei gekoppelte harmonische Quantenoszillatoren mit Hamiltonian

H = \frac{P_{1}^{2}}{2 M_{1}} + \frac{P_{2}^{2}}{2 M_{2}} + \frac{1}{2} M_{1} ω^{2} X_{1}^{2} + \frac{1}{2} M_{2} ω^{2} X_{2}^{2} + \frac{κ}{2} (X_{1} - X_{2})^{2} .

$\begin{equation} H = \frac{p^2_1}{2m_1} + \frac{p^2_2}{2m_2} + \frac{1}{2}m_1\omega^2 x^2_1 + \frac{1}{2}m_2 \omega^2 x^2_2 + \frac{\kappa}{2} (x_1-x_2)^2 \,. \end{equation}$ Wir nehmen die folgenden Änderungen an Variablen vor (normale Koordinaten)

\begin{array}{rcl} X & = & \frac{X_{1} - X_{2}}{\sqrt{2}}, \\ X & = & \frac{M_{1} X_{1} + M_{2} X_{2}}{M \sqrt{2}}, \end{array}

$\begin{eqnarray} x &=& \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{2}} \,, \\ X &=& \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M\sqrt{2}}\,, \end{eqnarray}$ oder gleichwertig,

\begin{array}{rcl} X_{1} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} (X + \frac{M_{2}}{M} X), \\ X_{2} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} (X - \frac{M_{1}}{M} X), \end{array}

$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\left(X + \frac{m_2}{M}x\right) \,, \\ x_2 &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\left(X - \frac{m_1}{M}x\right) \,, \end{eqnarray}$ Wo

M = (m_{1} + m_{2}) / 2

$M=(m_1+m_2)/2$ . Dann wird der Hamiltonianer

H = \frac{P_{X}^{2}}{2 μ} + \frac{1}{2} μ ω_{-}^{2} X^{2} + \frac{P_{X}^{2}}{2 M} + \frac{1}{2} M ω_{+}^{2} X^{2} .

$\begin{equation} H = \frac{p^2_x}{2\mu} + \frac{1}{2}\mu\omega_-^2 x^2 + \frac{p^2_X}{2M} + \frac{1}{2}M\omega_+^2 X^2 \,. \end{equation}$ Wo

μ = \frac{m_{1} m_{2}}{M}

$\displaystyle\mu = \frac{m_1m_2}{M}$ Und

ω_{+}^{2} = ω^{2}

$\omega_+^2=\omega^2$ Und

ω_{-}^{2} = ω^{2} + 2 κ / μ

$\omega_-^2 = \omega^2 + 2\kappa/\mu$ .

Die Wellenfunktionen sind

Ψ_{M N} (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{\sqrt{π X_{0} X_{0}}} \frac{e^{- X^{2} / 2 X_{0}^{2}}}{\sqrt{M! 2^{M}}} \frac{e^{- X^{2} / 2 X_{0}^{2}}}{\sqrt{N! 2^{N}}} H_{M} (\frac{X}{X_{0}}) H_{N} (\frac{X}{X_{0}}),

$\begin{equation} \Psi_{mn}(x_1,x_2) = \frac{1}{\sqrt{\pi x_0X_0}}\frac{e^{-x^2/2x_0^2}}{\sqrt{m!\,2^m}}\frac{e^{-X^2/2X_0^2}}{\sqrt{n!\,2^n}}H_m\left(\frac{x}{x_0} \right)H_n\left(\frac{X}{X_0} \right) \,, \end{equation}$ Wo

x = x (x_{1}, x_{2})

$x=x(x_1,x_2)$ Und

X = X (x_{1}, x_{2})

$X=X(x_1,x_2)$ Und

x_{0} = \sqrt{\frac{ℏ}{μ ω_{-}}}

$\displaystyle x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{\mu\omega_-}}$ Und

X_{0} = \sqrt{\frac{ℏ}{M ω_{+}}}

$\displaystyle X_0=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega_+}}$ .

Wie funktioniert das alles mit Matrizen "Formalismus"? Und wie man es erweitert $N$ CQHO? Letztendlich möchte ich (8) und (13) in http://arxiv.org/pdf/hep-th/9303048.pdf erneut demonstrieren

Benutzer35952

Wie wäre es mit einer Ähnlichkeitstransformation zur Matrix?

K

$K$ das diagonalisiert Ihre Matrix. Ich denke, diese Transformationen werden normale Transformationen genannt und die neuen Koordinaten werden als normale Koordinaten bezeichnet

QMechaniker

Kleiner Kommentar zum Beitrag (v4): Bitte verlinken Sie in Zukunft auf Abstract-Seiten statt auf PDF-Dateien, zB arxiv.org/abs/hep-th/9303048

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NNN-gekoppelte harmonische Quantenoszillatoren

Wie wäre es mit einer Ähnlichkeitstransformation zur Matrix? $K$ das diagonalisiert Ihre Matrix. Ich denke, diese Transformationen werden normale Transformationen genannt und die neuen Koordinaten werden als normale Koordinaten bezeichnet
Kleiner Kommentar zum Beitrag (v4): Bitte verlinken Sie in Zukunft auf Abstract-Seiten statt auf PDF-Dateien, zB arxiv.org/abs/hep-th/9303048

Benutzer2309840 · Answer 1

Ich denke, es könnte konzeptionell einfacher sein, rückwärts zu beginnen. Nehmen wir an, wir haben $N$ entkoppelte harmonische Oszillatoren:

H = \sum_{A = 1}^{N} [\frac{(π_{A})^{2}}{2 M} + \frac{1}{2} M ω_{ich}^{2} ϕ_{A}^{2}]

$H = \sum_{a=1}^N \left[ \frac{(\pi_a)^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_i^2 \phi_a^2 \right]$ Stellen Sie sich nun vor, die unitäre Transformation anzuwenden

x_{j} = {U_{j}}^{a} ϕ_{a}

$x_j = {U_j}^a \phi_a$ Und

p_{j} = {U_{j}}^{a} π_{a}

$p_j = {U_j}^a \pi_a$ Wo

U^{T} U = 1

$U^T U = 1$ damit beides

[x, p]

$[x,p]$ Und

[ϕ, π]

$[\phi,\pi]$ haben das Standardkommutierungsverhältnis. Eine solche Transformation wird einfach auf die wirken

π_{i}^{2}

$\pi_i^2$ Begriff, aber die

ω_{i}

$\omega_i$ 's im zweiten Beitrag dazu

H

$H$ führt zu interessanten quadratischen Kopplungen zwischen den

x_{j}

$x_j$ . (Wenn Sie weiterhin ungleiche Massen wünschen (ich bin mir nicht sicher, ob Sie dies wirklich im Zusammenhang mit der Verschränkungsentropie eines freien Skalarfelds tun), können Sie die Skalierung durchführen

x_{i} \to \sqrt{m_{i}} x_{i}

$x_i \to \sqrt{m_i} x_i$ Und

p_{i} \to p_{i} / \sqrt{m_{i}}

$p_i \to p_i / \sqrt{m_i}$ ohne die kanonische Vertauschungsbeziehung zwischen den zu ändern

x

$x$ ist und

p

$p$ 'S.)

Nun geht es um eine ganz bestimmte Nächste-Nachbar-Kopplung zwischen den $x_i$ . Die übliche Art, über diese Transformation nachzudenken, beinhaltet Fourier-Reihen. Wenn ich mich nicht irre, so etwas wie

X_{J} = \sum_{A = 1}^{N} e^{2 π ich J A / N} ϕ_{A}

$x_j = \sum_{a=1}^N e^{2 \pi i j a /N} \phi_a$
sollte handeln, um Ihren Hamilton-Operator zu diagonalisieren, wenn ich dies weiter annehme

x_{N + 1} = x_{1}

$x_{N+1} = x_1$ , dh ich lebe auf einem Kreis.

Im Kontext des Srednicki-Papiers und der Verschränkungsentropie gibt es einige modernere Ansätze, die Zweipunktfunktionen beinhalten. Sehen Sie sich Abschnitt 2.2 der Rezension http://arxiv.org/abs/0905.2562 oder Abschnitt III von http://arxiv.org/abs/0906.1663 an .

ZeroTheHero · Answer 2

(Wenn ich keine offensichtlichen algebraischen Fehler gemacht habe) besteht die elegante Lösung für dieses Problem darin, zu erkennen, dass die Matrix

Λ = (\begin{array}{lllr} 0 & 1 & 0 \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & 1 \\ 1 & 0 & 0 \dots & 0 \end{array})

$\Lambda=\left(\begin{array}{lllr} 0&1&0\ldots&0\\ 0&0&1&\ldots 0\\ \vdots&\vdots&\vdots&1\\ 1&0&0\ldots&0 \end{array}\right)$ pendelt tatsächlich mit

H

$H$ seit

Λ

$\Lambda$ im Grunde Karten

x_{i + 1}

$x_{i+1}$ Zu

x_{i}

$x_i$ .

Infolge, $H$ Und $\Lambda$ einen gemeinsamen Satz von Eigenvektoren haben.
Seit $\Lambda^n=1_{n\times n}$ , die Eigenwerte von $\Lambda$ erfüllen $\lambda_k^n=1$ so sind die $n$ 'te Wurzel der Einheit.

λ_{k} = e^{2 π ich k / N} = ω_{N}^{k} .

$\lambda_k=e^{2\pi i k/n}=\omega_n^k\, .$ Die Eigenvektoren werden dann leicht als die Fourier-Vektoren gefunden, d. h

v_{k} = \frac{1}{\sqrt{N}} (\begin{matrix} ω_{N}^{k} \\ (ω_{N}^{k})^{2} \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}) .

$v_k= \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\begin{array}{c} \omega_n^k\\ (\omega_n^k)^2\\ \vdots \\ 1 \end{array}\right)\, .$ Mit diesen können Sie die Matrix konstruieren

U

$U$ von Eigenvektoren, die diagonalisieren

H

$H$ .

NNN-gekoppelte harmonische Quantenoszillatoren

Kaio

Benutzer35952

QMechaniker

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Benutzer2309840

ZeroTheHero

Energieeigenwert für SHO Classical und Quantum

Einfacher gekoppelter harmonischer Quantenoszillator

Gekoppelter harmonischer Quantenoszillator

Gekoppelter harmonischer Oszillator - Lösen durch Diagonalisierung [geschlossen]

Harmonische Oszillatorbeziehung mit diesem Hamiltonoperator

Harmonischer Oszillator

Finden der Gesamtwellenfunktion bei allen ttt mit einer gegebenen Anfangswellenfunktion bei t = 0t = 0t = 0 [geschlossen]

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