Einfacher gekoppelter harmonischer Quantenoszillator

Question

Einfacher gekoppelter harmonischer Quantenoszillator

Zarathustra

Ich habe Probleme, die Eigenwerte für den Hamilton-Operator zu finden

H = \frac{P_{1}^{2}}{2 M} + \frac{P_{2}^{2}}{2 M} + \frac{K}{2} X_{1}^{2} + \frac{k}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$H = \frac{P_1^2}{2M} + \frac{P_2^2}{2m} + \frac{K}{2}x_1^2 + \frac{k}{2}(x_1 - x_2)^2$

Obwohl ich eine Basis finden kann, wo die $x_1$ Und $x_2$ Koordinaten entkoppelt sind, erhalte ich dann Impulsprodukte in meinem neuen Hamilton-Operator. Ich denke, dieses Problem sollte in zwei entkoppelte Oszillatoren transformierbar sein. Liege ich da falsch?

Antworten (4)

Einfacher gekoppelter harmonischer Quantenoszillator

Emilio Pisanty · Answer 1

Strukturell sieht es so aus:

Beginnen Sie damit, eines oder beide der Positions-/Impulspaare so neu zu skalieren, dass der Term der kinetischen Energie beide Massen gleich hat (während auch beibehalten wird $[x_i,p_i]=i\hbar$ ), Und
Finden Sie dann eine Drehung in der Neuskalierung $x_1,x_2$ Ebene, die die Kopplungsterme eliminiert.
Diese starre Drehung wird in der Impulsebene gespiegelt, aber da die Massen symmetrisch sind, werden keine Impulskopplungen mehr eingeführt.

Dann sind Sie fertig - Sie haben zwei entkoppelte Oszillatoren, deren Positions- und Impulsvariablen kanonisch zueinander konjugiert und als explizite Linearkombinationen der alten gegeben sind.

Obwohl ich Ihre Antwort bereits akzeptiert habe, würde ich gerne wissen, ob es einen Grund gibt, warum wir einen der Parameter neu skalieren müssen, über den algebraischen hinaus, dass dadurch einfach der Kopplungsterm verschwindet. Ich kann sehen, dass dies funktioniert, aber gibt es einen physikalischen Grund, der die Skalierung erforderlich macht?
@Zarathustra Nicht besonders, das sehe ich. Letztendlich ist es alles nur eine große symplektische Transformation (wie in Gecs Antwort, wirklich), die die Dinge in Form bringt, aber die Neuskalierungs-dann-Rotationsstruktur erleichtert die Implementierung.
@Zarathustra - Der Grund ist, dass diese Form erst nach der Skalierung auf gleiche Faktoren der quadratischen Form der kinetischen Energie auch eine quadratische Form (entsprechend einem Kreis) mit gleichen Koeffizienten und ohne Kreuzterme bleibt, nachdem die orthogonale Transformation zur Diagonalisierung des Quadrats angewendet wurde Form der potentiellen Energie. Siehe meine erweiterte Antwort unten.

frei · Answer 2

Der Hamiltonoperator ist sowohl in den Impulsen als auch in den Koordinaten eine quadratische Form. Sie können das Problem entkoppeln, indem Sie den Hauptachsensatz auf die Koordinaten anwenden, um verallgemeinerte Koordinaten zu erhalten. Dazu ist zunächst eine Skalierung der Koordinaten zur Angleichung der Koeffizienten der kinetischen Energie notwendig. Der gesamte Ansatz entspricht einer „ Diagonalisierung “ sowohl der Matrix der potentiellen Energie als auch der kinetischen Energie durch Auffinden einer geeigneten linearen Transformation bestehend aus einer Skalierung und einer anschließenden orthogonalen Transformation. Letzteres beinhaltet das Auffinden der Eigenwerte und Eigenvektoren der potentiellen Energiematrix.

Hinweis: Nach dem Kommentar von @Emilio Pisanty habe ich die vorherige flüchtige Antwort bearbeitet und einige von ihm hervorgehobene Unklarheiten entfernt. Dies richtet sich an Physiker, die nur ein Standard-Curriculum absolviert haben und sich daher wahrscheinlich keinen "Symplektomorphismen" hingegeben haben.

(1) Das Problem entspricht dem typischen kleinen Schwingungsproblem gekoppelter Oszillatoren, das in den meisten klassischen Mechanikkursen behandelt wird, normalerweise im Rahmen der Lagrange-Funktion, die leicht in die entsprechende Hamilton-Funktion übersetzt werden kann. Die Entkopplung der gegebenen Hamilton-Funktion in eine Summe ungekoppelter linearer Oszillator-Hamilton-Funktionen ist das Problem, die "Normalkoordinaten" für diese Oszillatoren zu finden.

Dies ist ausführlich beschrieben zB in H. Goldsteins Buch Classical Mechanics , Kapitel 6. Oscillations , insbesondere Abschnitt 6.2 The Eigenvalue Equation and the Principal Axis Transformation . In dieser Harvard-Vorlesung finden Sie eine kürzere Darstellung von Goldsteins Ansatz. Es reicht völlig aus, die Transformationen auf der klassischen Hamilton-Funktion (oder Lagrange-Funktion) durchzuführen. Sobald Sie den entkoppelten Hamilton-Operator haben, können Sie ihn quantisieren. Goldstein bezeichnet die daraus resultierende notwendige Gesamttransformation als "Ähnlichkeitstransformation", um die "Hauptachsentransformation" zu realisieren.

(2) Um die Oszillatoren zu entkoppeln, muss man gleichzeitig die symmetrische quadratische Form (Matrix) der potentiellen Energie und die symmetrische quadratische Form (Matrix) der kinetischen Energie der Lagrange-Funktion diagonalisieren $L=T-V$ (ausgedrückt in Geschwindigkeiten) durch eine geeignete lineare Koordinatentransformation. Wenn die Massen im Term der kinetischen Energie gleich wären, könnten Sie dies mit einer einzigen orthogonalen Koordinatentransformation tun, die normalerweise als Hauptachsentransformation bezeichnet wird.

(3) Aber hier sind die Massen nicht gleich. Daher müssen Sie zuerst die Koordinaten so skalieren, dass die Koeffizienten von $v_1^2$ Und $v_2^2$ gleich werden. Das bedeutet, dass die kinetische Energiematrix nicht nur diagonal ist, sondern auch die gleichen Koeffizienten hat. Dann bleibt nach einer anschließenden orthogonalen Transformation die quadratische Form der kinetischen Energie eine Summe der Quadrate der Geschwindigkeit mit gleichem Faktor. Dies ist in leicht verständlicher Weise (direkt anwendbar auf den vorliegenden 2-D-Fall) in PK Aravind, Geometrical interpretation of the simultan diagonalization of two square forms, American Journal of Physics 57, 309 (1989) beschrieben . Ich weiß nicht, ob es eine No-Pay-Option gibt, um dieses schöne Papier zu bekommen.

(4) Jetzt führen Sie die orthogonale Transformation durch (in diesem Fall die Drehung in der $x_1$ , $x_2$ Ebene), um die symmetrische Matrix der potentiellen Energie zu diagonalisieren. Die Matrix der kinetischen Energie bleibt diagonalisiert. Am Ende sind also beide Matrizen diagonalisiert, so dass der Lagrange zu einer Summe separater Oszillator-Lagrange wird.

(5) Sie können den resultierenden Hamilton-Operator finden $H$ in den neuen verallgemeinerten Koordinaten aus dem Lagrange $L$ in den neuen verallgemeinerten Koordinaten durch die bekannte Beziehung

H = \sum_{ich} P_{ich} {\dot{X}}_{ich} - L

$H= \sum_i p_i \dot x_i-L$ Und

P_{ich} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{X}}_{ich}}

$p_i= \frac {\partial L}{\partial \dot x_i}$ Dies stellt sicher, dass Ihre neuen verallgemeinerten Impulse

p_{i}

$p_i$ sind die kanonisch Konjugierten der neuen verallgemeinerten Koordinaten

x_{i}

$x_i$ .

(6) Benötigt man den QM (Schrödinger) Hamiltonoperator, quantisiert man den klassischen durch Einsetzen $p \to -i\hbar \nabla$ .

Vielen Dank, ich fand die von Ihnen bereitgestellten Links sehr hilfreich. Insbesondere der Hauptachsensatz. Da ich nur eine Antwort akzeptieren kann, kann ich jetzt nur für Sie abstimmen.
Das ist nicht ganz richtig. Die Verwendung des Hauptachsensatzes und seiner zugehörigen orthogonalen Transformation ist entweder unzureichend (wenn er auf der Positionsebene gehalten wird, in diesem Fall tritt eine Impulskopplung auf) oder falsch (wenn er auf die Impulse erweitert wird, in diesem Fall bleibt die Transformation nicht erhalten der kanonische Kommutator / die Poisson-Klammer). Wenn man darauf besteht, eine einzige Transformation zu verwenden, ist die korrekte Anforderung, dass sie symplektisch und nicht orthogonal ist.

Gec · Answer 3

Eine andere Methode, um Probleme dieser Art zu lösen, besteht darin, Operatoren der Form zu betrachten

\hat{A} = C X_{1} + D X_{2} + e P_{1} + F P_{2} .

$\hat{a} = c x_1 + d x_2 + e P_1 + f P_2.$ Hier

c

$c$ ,

d

$d$ ,

e

$e$ Und

f

$f$ sind numerische Koeffizienten. Wenn Sie Lösungen der Gleichung finden

[\hat{A}, H] = ε \hat{A},

$\left[ \hat{a}, H \right] = \varepsilon \hat{a},$ Sie erhalten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und Energien von Quanten.

Das ist richtig, muss aber um die Forderung ergänzt werden, dass die neuen Vernichtungsoperatoren und ihre Konjugierten der bosonischen Kommutierungsrelation gehorchen.
@Emilio Pisanty Du hast vollkommen recht. Danke für deine Klarstellung. Es fällt mir viel leichter, kurze Nachrichten zu schreiben.

QMechaniker · Answer 4

Allgemeiner gesagt, bei einem gegebenen semipositiven definiten quadratischen reellen Hamilton-Operator

\begin{matrix} (1) & H = \frac{1}{2} z^{ICH} H_{ICH J} z^{J} \geq 0 \end{matrix}

$H=\frac{1}{2}z^I H_{IJ} z^J~\geq~ 0 \tag{1}$ In

2 n

$2n$ Kanonische Koordinaten

\begin{matrix} (2) & (z^{1}, \dots z^{2 N}) = (Q^{1}, \dots, Q^{N}, P_{1}, \dots, P_{N}), \end{matrix}

$(z^1, \ldots z^{2n})~=~(q^1,\ldots, q^n,p_1, \ldots, p_n),\tag{2}$ man kann zeigen, dass es immer eine reelle & lineare symplektische Transformation gibt

\begin{matrix} (3) & Z = S z, S \in S P (2 N, R), \end{matrix}

$Z~=~ S z, \qquad S\in Sp(2n,\mathbb{R}),\tag{3}$ das bringt den Hamiltonoperator auf Diagonalform, vgl. Ref. 1.

Beachten Sie, dass die Koordinatentransformation symplektisch sein muss, um die kanonischen Kommutierungsbeziehungen (CCR) zu bewahren. Es gibt einen verwandten Phys.SE-Beitrag hier .

Verweise:

VI Arnold, Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik, 2. Aufl., 1989; Anhang 6.

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