Gekoppelter harmonischer Quantenoszillator

Gegeben ist der folgende Hamiltonoperator für zwei identische lineare Oszillatoren mit Federkonstante k und Interaktionspotential a X 1 X 2 ; Ich wurde gebeten, den Erwartungswert zu finden ⟨ X 1 X 2 ⟩ ( X 1 & X 2 sind Oszillatorvariablen):

H ^ = P ^ 1 2 2 M + P ^ 2 2 2 M + 1 2 k ( X 1 2 + X 2 2 ) + a X 1 X 2

Da ich nichts anderes zu tun wusste, wechselte ich zu normalen Koordinaten:

X 1 = X ICH + X ICH ICH 2
X 2 = X ICH − X ICH ICH 2
Die Impulsoperatoren werden entsprechend in gleicher Weise geändert. Somit ist der neue Hamiltonoperator:
H ^ = P ^ ICH 2 2 M + P ^ ICH ICH 2 2 M + 1 2 ( k + a ) X ICH 2 + 1 2 ( k − a ) X ICH ICH 2
Dies kann nun als zwei getrennte Eigenwertprobleme gelöst werden, wodurch sich zwei Lösungen ergeben.

  1. Das Problem spezifiziert jedoch niemals die Art der Teilchen, die sich auf diesen Oszillatoren befinden (dh identische Fermionen, Bosonen ...). Das führt mich zu der Frage, wie sollte die Wellenfunktion gebildet werden? Symmetrisch, asymmetrisch oder keines von beiden?

  2. Nun der zweite Teil. Wie auch immer die Wellenfunktion gebildet wird, X 1 X 2 = 1 2 ( X ICH 2 − X ICH ICH 2 ) . Ich habe dann versucht, dies in Bezug auf die Hebe- und Senkoperatoren zu formulieren. Es scheint mir, dass es vier "Arten" von Operatoren geben wird. Wir können haben (unter Verwendung der Notation von Griffith): A ICH + , A ICH − , A ICH ICH + , Und A ICH ICH − . Wobei jeder Operatoren in der jeweiligen Basis entspricht. Diese Verwendung kam mir etwas seltsam vor, als ich versuchte, die Operatoren auf eine asymmetrisch oder symmetrisch gebildete Wellenfunktion anzuwenden. Wie könnte man beispielsweise den Operator auf Folgendes anwenden:

    A ICH + | ψ ICH N ICH ( X ICH ICH ) ψ ICH ICH N ICH ICH ( X ICH ) ⟩
    Oder denke ich da irgendwie falsch? Oder vielleicht gibt es einen einfacheren Weg. Jede Anleitung wird sehr geschätzt.

Außerdem muss man, um einen Erwartungswert einschätzen zu können, wissen, in welchem ​​Zustand wir uns befinden...
In welchem ​​Zustand nehmen Sie die Erwartung in Bezug auf? dh was ist | Ψ ⟩ In ⟨ X 1 X 2 ⟩ = ⟨ Ψ | X 1 X 2 | Ψ ⟩ ?
Ja Entschuldigung! @Danu. Mir war nicht bewusst, dass der Zustand angegeben werden muss. In dem einen Deminsional-Fall brauchen wir das nicht, da die Erhöhungs- und Senkungsoperatoren den Erwartungswert in Bezug auf die Quantenzahl angeben können N . Wird dieser Fall anders sein? Die Staaten wurden nicht angegeben
Ich glaube, ich verstehe, was du meinst. Ich gehe nur von einem stationären Zustand aus

Antworten (2)

Okay, also müssen Sie für zwei wechselwirkende Teilchen in einem harmonischen Oszillator herausfinden, welche der oben gefundenen Wellenfunktionen die Austauschbedingungen erfüllen. Schau dir an, wie X ICH , ICH ICH sind vom Austausch betroffen X 1 Und X 2 . Dies wird Anforderungen an die zulässigen Werte der geben N ich Sind. Das Beispiel, das Sie gegeben haben, würde sich wie erwartet verhalten. Geben | ψ N ICH + 1 ( X ICH ) ψ N ICH ICH ( X ICH ICH ) ⟩ . Es gibt keine Garantie dafür, dass dieser Zustand die Austauschanforderungen a priori noch erfüllt.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass dies für ein Zwei-Teilchen-System gilt. Auch der Statistikteil war nur ein kleiner Teil des Problems. Mir war unklar, wie ich die Operatoren auf dieses System anwenden sollte. Was haltet ihr vom letzten Teil meiner Frage?
Okay, also das Produkt ψ ICH ψ ICH ICH ist unter Austausch antisymmetrisch, wenn N ICH ICH ist ungerade und symmetrisch wenn N ICH ICH ist gerade. Heißt das also, dass die Wellenfunktion eigentlich so als Produkt aufgeschrieben wird und die Quantenzahlen dadurch bestimmt werden, ob es sich bei den Teilchen um Fermionen oder Bosonen handelt? Ich denke, das macht Sinn! Es wird die Berechnung des Erwartungswerts viel einfacher machen!

Wenn Ihre Teilchen identische Bosonen sind, ist n zwei = 0,2,4 ... Wenn sie Fermionen sind, ist n zwei = 1,3,5 .... eine Zwei ändert nur psi zwei.

Haha danke für die Antwort, aber ich habe es verstanden. Die Hermite-Polynome sind gerade und ungerade!
Gekoppelter harmonischer Quantenoszillator
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