Harmonischer Oszillator - Wellenfunktionen

Ich denke, der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, das Lösen von Differentialgleichungen so weit wie möglich zu vermeiden. Es gibt tatsächlich eine Möglichkeit, Leiteroperatoren zu verwenden, und Sie müssen nur eine ziemlich einfache Differentialgleichung lösen.

Zunächst stellen wir fest, dass die Ladder-Operator-Technik verwendet werden kann, um das gesamte Spektrum eines eindimensionalen harmonischen Oszillators abzuleiten.

$$E_n = (n+\tfrac{1}{2})\hbar\omega$$ Die Technik kann auch verwendet werden, um zu zeigen, dass die entsprechenden, richtig normalisierten Eigenvektoren die folgenden Eigenschaften erfüllen $$a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle, \qquad a|0\rangle = 0$$ Die linke Eigenschaft zeigt, dass, sobald man einen der Eigenzustände hat, jeder andere Eigenzustand, der einem höheren Eigenwert entspricht, durch Anwendung des Erhöhungsoperators erhalten werden kann. Kennt man insbesondere die Positionsbasisdarstellung des Grundzustands, so kann man die Positionsbasisdarstellung jedes anderen Eigenzustands durch Anwendung der Positionsbasisdarstellung des Anhebungsoperators erhalten.

Die rechte Eigenschaft zeigt, dass der Grundzustand durch den Absenkoperator vernichtet wird. Schreibt man diese Bedingung in die Ortsbasis, erhält man eine einfache Differentialgleichung für die Grundzustands-Wellenfunktion und erzeugt dann gemäß der linken Eigenschaft alle anderen Wellenfunktionen.