Grundzustandswellenfunktion zweier Teilchen in einem harmonischen Oszillatorpotential

Question:

Zwei identische, nicht wechselwirkende Spin- 1 / 2 Teilchen befinden sich in einem 1D Harmonic Oscillator Potential. Ihr Hamiltonoperator ist gegeben durch

H = P 1 X 2 2 M + 1 2 M ω 2 X 1 2 + P 2 X 2 2 M + 1 2 M ω 2 X 2 2

Wie lautet die Grundzustandswellenfunktion für die beiden Teilchen im Singulett- und Triplettzustand? dh wann S = 0 Und S = 1 , bzw.

Attempt:Ich glaube, dass wir für nicht wechselwirkende nicht unterscheidbare Teilchen haben

ψ = 1 2 { ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) + ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) }

Ebenso ist der Grundzustand eines einzelnen Teilchens in einem 1D Harmonic Oscillator Potential

ψ 0 ( X ) = ( M ω π ℏ ) 1 / 4 exp ⁡ { − M ω 2 ℏ X 2 }

Daher würden unsere ψ für das Zwei-Teilchen-System sei einfach

ψ = 2 2 ( M ω π ℏ ) 1 / 2 ( exp ⁡ { − M ω 2 ℏ ( X 1 2 + X 2 2 ) } )
Ich habe das Gefühl, dass mir etwas fehlt. Außerdem, wie berechne ich die S = 0 Und S = 1 Fälle? Ich bin sehr verwirrt darüber, wie ich sie in meinen allgemeinen Fall oben einbaue, der Spin nicht berücksichtigt. Jede Hilfe wäre willkommen.

Antworten (1)

Aus dem Ausdruck des Hamiltonian können Sie das ersehen H ^ = H ^ 1 + H ^ 2 . Außerdem haben Sie die folgende Kommutierungsbeziehung [ H ^ 1 , H ^ 2 ] = 0 . Daher können Sie die Eigenzustände als bezeichnen | N 1 N 2 , S M S ⟩ . Wo | S M S ⟩ ist der Zweiteilchen-Gesamtspinzustand. Nun ist das dem Grundzustand entsprechende Ket | N 1 N 2 , S M S ⟩ = | 00 , 00 ⟩ . Um zu sehen, wo der Spin ins Spiel kommt, betrachten wir den ersten angeregten Zustand. Die erste angeregte Energie ist E 1 = E ( 10 ) = E ( 01 ) mit vier möglichen Kets:

Für den Singulett-Zustand ( 1 2 | 10 ⟩ + 1 2 | 01 ⟩ ) | 00 ⟩

Für den Triplettzustand ( 1 2 | 10 ⟩ + 1 2 | 01 ⟩ ) | S = 1 , M S = 0 , ± 1 ⟩

Mit Fermionen ist die antisymmetrische Wellenfunktion

ψ = 1 2 ( ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) − ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) )

(Es gibt ein Plus in Ihrer Wellenfunktion und das gilt für Teilchen mit ganzzahligem Spin). Diese Wellenfunktion kann in einen Raum- und einen Spinanteil zerlegt werden. Da es sich um eine antisymmetrische Wellenfunktion handelt, ist der Spin-Teil antisymmetrisch, wenn der räumliche Teil symmetrisch ist und umgekehrt.

ψ ( X 1 , X 2 , M 1 , M 2 ) = { ψ S ( X 1 , X 2 ) χ A ( M 1 , M 2 ) ψ A ( X 1 , X 2 ) χ S ( M 1 , M 2 )

wo der räumliche Teil ist

ψ S ( X 1 , X 2 ) = 1 2 ( ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) + ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) )

ψ A ( X 1 , X 2 ) = 1 2 ( ψ 1 ( X 1 ) ψ 2 ( X 2 ) − ψ 1 ( X 2 ) ψ 2 ( X 1 ) )

und der Spin-Teil

χ A ( M 1 , M 2 ) = 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 2 ) M S = 0 , S = 0

χ S ( M 1 , M 2 ) = { ↑ 1 ↑ 2 , M S = 1 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 + ↑ 2 ↓ 2 ) M S = 0 ↓ 1 ↓ 2 M S = − 1 } , S = 1

Wäre die Wellenfunktion für den Grundzustand dann bei einem antisymmetrischen Ortsanteil nicht Null?
Meine Notation war etwas schlampig. Ich hätte für die eine Teilchenwellenfunktion so etwas schreiben sollen ψ N ( 1 ) ( X 1 ) . Somit wäre der antisymmetrische räumliche Teil ψ N N ' A ( X 1 , X 2 ) ∝ ( ψ N ( 1 ) ( X 1 ) ψ N ' ( 2 ) ( X 2 ) − ψ N ' ( 1 ) ( X 2 ) ψ N ( 2 ) ( X 1 ) ) . Für N = N ' Der Grundzustand wäre Null, aber unter Berücksichtigung des Pauli-Ausschlussprinzips können Sie nicht zwei Fermionen im selben Energiezustand haben.
@nijankowski In deiner Formel für χ S für den mittleren fall meinst du ↑ 1 ↓ 2 + ↑ 2 ↓ 1 ?
Grundzustandswellenfunktion zweier Teilchen in einem harmonischen Oszillatorpotential
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