Quantum Harmonic Oscillator Virial Theorem gilt nicht

Ich werde gebeten, die durchschnittliche kinetische und potentielle Energie für einen bestimmten Zustand eines harmonischen Quantenoszillators zu berechnen. Der Staat ist:

ψ ( X , 0 ) = ( 4 M ω π ℏ ) 1 4 e − 2 M ω ℏ X 2
Hauptsache rechnen ⟨ T ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ψ ( X ) ( − ich ℏ ) 2 D 2 D X ψ D X = ( 4 M ω π ℏ ) 1 2 ∫ − ∞ ∞ e − 4 M ω H X 2 D X − ( 4 M ω π ℏ ) 1 2 ∫ − ∞ ∞ X 2 e − 4 M ω H X 2 D X = ℏ ω

Wo ich das verwendet habe, ist der Impulsoperator P = − ich ℏ D D X

⟨ v ⟩ = M ω 2 2 ( 4 M ω π ℏ ) 1 2 ∫ − ∞ ∞ X 2 e − 4 M ω H X 2 D X = ℏ ω 16

Aber dann ist der Virialsatz nicht erfüllt. Ich habe gelesen, dass der Virialsatz für jeden gebundenen Zustand gilt und alle Zustände in einem harmonischen Quantenoszillator gebunden sind. Kann jemand darauf hinweisen, wo ich falsch liege? Danke

Dies ist der Grundzustand des Hamiltonoperators 1 2 M ∇ 2 + 8 M ω 2 X 2 - Sind Sie sicher, dass das der Zustand ist, den sie meinten?
Ja @jacob1729, das ist der Zustand, den ich bekommen habe. Es ist kein Grundzustand, sondern eine unendliche Summe von QHO-Eigenzuständen
Vielleicht könnten Sie uns mehr Kontext geben; was beschreibt dieser Zustand usw
Es ist eine frühere Prüfungsfrage, sie besagt nur, dass ein QHO mit Masse m und Frequenz ω befindet sich bei t=0 in diesem Zustand und fordert die Berechnung von <V> und <T> auf

Antworten (2)

Der Grundzustand des harmonischen Oszillators ist (siehe Wikipedia zum Beispiel):

ψ 0 ( X ) = ( a π ) 1 / 4 e − a X 2 / 2 , Wo  a = M ω ℏ

Ihre Mathematik ist korrekt, es ist nur so, dass der Zustand, den Sie haben, kein gebundener Zustand des harmonischen Oszillators ist, die Parameter sind leicht abweichend. Wenn Sie den oben angegebenen Zustand verwenden, können Sie tatsächlich Folgendes zeigen:

⟨ T ⟩ = ℏ ω 4 = ⟨ v ⟩ .

Der Zustand, den sie mir geben, ist in der Tat nicht der Grundzustand, ich muss ihn für den gegebenen Zustand mit dem Faktor 4 berechnen
Sicher, außer dass das Virialtheorem in der Quantenmechanik nur für gebundene Zustände gilt und der von Ihnen angegebene Zustand kein gebundener Zustand des harmonischen Oszillators ist . Es ist also normal, dass es das Theorem nicht erfüllt. Vielleicht gibt es ein Missverständnis darüber, was ein gebundener Zustand ist?
Ich habe gelesen, dass alle Zustände in einem harmonischen Quantenoszillator gebunden sind: physical.stackexchange.com/questions/135456/… Aber vielleicht irre ich mich und für klassische Energien gibt es ungebundene Zustände?
Das ist auch richtig. Allerdings sind nicht alle Funktionen gebundene Zustände! Ein gebundener Zustand für einen bestimmten Hamiltonoperator H ist ein Zustand, der erfüllt
H ψ = E ψ ,
Wo E ist eine konstante Zahl, worunter wir die Energie verstehen. Ich fordere Sie auf, den Zustand, den Sie haben, in diese Differentialgleichung einzusetzen, um zu sehen, ob er sie erfüllt.
Diese Beziehung wird durch Eigenfunktionen erfüllt, richtig? Deshalb haben sie eine bestimmte Energie E, aber mein Zustand ist eine unendliche Summe der QHO-Eigenfunktionen mit unterschiedlichen Gewichtskoeffizienten. Es befriedigt also nicht H ψ = E ψ . Daher ist es kein gebundener Zustand, sodass Virial nicht gilt. Virial gilt also nur für Eigenzustände? Und gebundene Zustände sind die der Eigenfunktionen?
Richtig, ich bin mir nicht sicher, ob ich den letzten Teil Ihres Kommentars verstehe, aber allgemein, ja. "Gebunden" und "Streuung" sind Adjektive, die verwendet werden, um Zustände bestimmter Energie (dh Eigenfunktionen des Hamilton-Operators) zu beschreiben. Eigenfunktionen, die ein diskretes Spektrum haben, werden "gebunden" genannt, und solche, die ein kontinuierliches Spektrum haben, werden als "Streuung" bezeichnet. Der harmonische Oszillator hat nur Eigenfunktionen, die ein diskretes Energiespektrum haben, und daher sind alle Zustände bestimmter Energie "gebundene" Zustände. Der Virialsatz gilt nur für solche gebundenen Zustände.
Vielen Dank! Dann als Zusammenfassung, um sicherzugehen, dass ich es verstanden habe: Das Virialtheorem gilt für gebundene Zustände, dh Eigenfunktionen mit diskreter Energie. Einzelne Eigenfunktionen des QHO haben diskrete Energie, alle Eigenzustände sind gebunden. Virial gilt also für jeden QHO-Eigenzustand. Allerdings hat mein Zustand keine bestimmte Energie, da es kein Eigenzustand ist, also nicht gebunden, also kein Virial.
Das klingt ungefähr richtig, ja!

Sie können Gaußsche Felder haben, die keine Eigenzustände sind, aber dann sind sie nicht zeitunabhängig - und die Zeitunabhängigkeit ist das wesentliche Element des Virialsatzes. Zum Beispiel die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators

ich ∂ ψ ∂ T = − 1 2 ∂ 2 ψ ∂ X 2 + 1 2 ω 2 X 2 ψ
hat eine zeitabhängige Lösung
ψ ( X , T ) = ( ω π ) 1 / 4 1 e ich ω T + R e − ich ω T exp ⁡ { − ω 2 ( 1 − R e − 2 ich ω T 1 + R e − 2 ich ω T ) X 2 } ,
wo der Parameter | R | < 1 . Nur wenn R = 0 sind seine X Und P Verteilungen zeitunabhängig. Wenn R ≠ 0 die Gaußsche „atmet“ ein und aus. Ihre Wellenfunktion ist eine Momentaufnahme davon zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Unten ist eine Visualisierung von | ψ ( X , T ) | 2 (nehmen ω = 1 ) für unterschiedliche Werte von R , die zeigt, wie die Gaußsche „Atmung“ erfolgt. Wie Sie sehen können, als R → 0 , ändert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung tendenziell nicht so stark.

                          Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Gaußsche "atmet" ein und aus . Das ist ein verdammt gutes Bild, ich werde diesen Ausdruck von nun an verwenden. :P
Ich glaube nicht, dass ich die Metapher "Einatmen und Ausatmen" verstehe. Können Sie das erweitern?
Das meine ich, wenn Sie planen | ψ ( X , T ) | 2 Für meine Lösung als Funktion der Zeit werden Sie sehen, dass sich die Gaußsche Frequenz mit der Häufigkeit ausdehnt und zusammenzieht 2 ω . Daher < X 2 > . Und < P 2 > periodisch schrumpfen und wachsen. Natürlich < P 2 > wächst wie < X 2 > schrumpft..
Oh, ich verstehe, danke
@mikestone Hallo! Ich habe ein kleines GIF und eine kleine Beschreibung hinzugefügt, die veranschaulichen, was Sie meiner Meinung nach gemeint haben. Bitte zögern Sie nicht, es zu entfernen / zu bearbeiten / die Bearbeitung rückgängig zu machen usw., wie Sie es für richtig halten!
@Phillip Das ist großartig!
Quantum Harmonic Oscillator Virial Theorem gilt nicht
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v