Virialsatz und Variationsmethode: eine Frage

Ich habe ein Wasserstoffatom und weiß, dass seine Wellenfunktion im Grundzustand die Standardform hat

ψ = A e − β R
mit A = β 3 π , muss ich den besten Wert für finden β (unter Verwendung der Variationsmethode). Nach Einbeziehung der Darwin-Korrektur
H D = D δ ( R )
mit D = a 2 π Z 2 , in den Hamilton-Operator
H 0 = − 1 2 ∇ 2 − Z R

Ich habe gerechnet

⟨ ψ ( β ) | − ∇ 2 2 | ψ ( β ) ⟩ = ⟨ ψ ( β ) | T | ψ ( β ) ⟩ = β 2 2
dann dachte ich daran, den Virialsatz zu verwenden, um den Teil zu berechnen ⟨ v ⟩ :
⟨ ψ ( β ) | − Z R | ψ ( β ) ⟩ = ⟨ ψ ( β ) | v | ψ ( β ) ⟩ = − 2 ⟨ ψ ( β ) | T | ψ ( β ) ⟩ = − β 2
wobei der Darwin-Teil leicht zu berechnen ist.

Wenn ich mir die Lösungen ansehe, die mein Professor geschrieben hat, habe ich gerade ein anderes Ergebnis gefunden:

⟨ v ⟩ = ⟨ ψ ( β ) | − Z R | ψ ( β ) ⟩ = Z β ⟨ ψ ( β ) | − β R | ψ ( β ) ⟩ = − 2 Z β β 2 2 = − β Z

Warum ist das? Hängt das irgendwie damit zusammen, dass ich später die Variationsmethode anwenden werde? Bitte helfen Sie mir zu verstehen.

Danke an Kyle Kanos für die Bearbeitung: Ich bin neu bei StackExchange!
Gute Frage :-) Es kann eine Weile dauern, bis jemand vorbeikommt und sie beantwortet, besonders da es so kurz vor Weihnachten ist, also keine Panik, wenn Sie nicht sofort eine Antwort erhalten.

Antworten (1)

Zusammenfassend finden Sie entweder a | ψ ⟩ die die Schrödinger-Gleichung ( und damit den Virialsatz ) löst oder die Schrödinger-Gleichung nicht löst und dann minimiert E ( β ) = ⟨ ψ ( β ) | H | ψ ( β ) ⟩ .

Wenn Sie die Schrödinger-Gleichung gelöst haben, gibt es nichts zu minimieren. Wenn Sie die richtige Funktionsform von erraten haben | ψ ( β ) ⟩ dann löst diese Funktion die Schrödinger-Gleichung nur beim Minimalwert E ( β ) .

Was Sie haben, ist (Ignorieren der Konstante A für jetzt) ​​die richtige funktionale Form von | ψ ( β ) ⟩ was nicht die Bedingungen des Virialsatzes für alle Werte von erfüllt β weil es die Schrödinger-Gleichung nicht für alle Werte von löst β . Wir können diesen letzten Punkt veranschaulichen.

Berechnung H | ψ ⟩ für Willkür β (und den Darwin-Begriff ignorierend),

H | ψ ⟩ = ( β R − β 2 2 − Z R ) | ψ ⟩

(bis auf eine multiplikative Konstante.) Seit E muss unabhängig sein von R wir glauben, dass β muss gleich sein Z . Das haben Sie herausgefunden, indem Sie die Gültigkeit des Virialsatzes forderten. Dies lässt Sie mit dem bekannten Ergebnis zurück, dass

E = − Z 2 2 .

Beachten Sie, dass, wenn Sie versuchen, den Virialsatz und dann die Variationsmethode anzuwenden, die Gesamtenergie E ( β ) ∼ − β 2 , die, wie Sie sehen können, von unten unbeschränkt ist. Das kann man nicht minimieren! Der Ansatz Ihres Professors ist richtig – zeigen Sie, dass Sie minimieren können ⟨ T ⟩ + ⟨ v ⟩ um das zu schließen β = Z .

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