Klassische Grenze des harmonischen Quantenoszillators

Der klassische harmonische Oszillator gehorcht einem Arkussinusgesetz, indem die Verteilung der Positionen des Teilchens über einen einzigen Zeitzyklus proportional zu ist 1 A 2 − X 2 , A die Amplitude sein.

Es gibt eine Abbildung, die ziemlich verbreitet zu sein scheint (ich betrachte Abbildung 2.7b in Griffiths' Buch über QM), in der ein hoch- N Energieeigenzustand des harmonischen Quantenoszillators wird mit der oben erwähnten Verteilung überlagert. Die Graphen der beiden Funktionen scheinen ähnlich zu sein.

Gibt es einen Beweis dafür, dass sie in gewissem Sinne in irgendeiner Grenze zusammenfallen?

Richtig, klassischerweise führt die Energieerhaltung zu ω D T = D X A 2 − X 2 , die als Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretiert werden kann P ( X ) = 1 π 1 A 2 − X 2 . Das ist Abbildung 2.5b p. 42 in der 1. Auflage (1995).

Antworten (3)

Ich bin mir nicht sicher 1 A 2 − X 2 Teil in Ihnen Annäherung. In der asymptotischen Grenze N → ∞ , verhalten sich die Hermite-Polynome wie folgt:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Der Kosinusteil bezieht sich auf die in der Wellenfunktion vorhandenen Schwingungen, die sogar in Abb. 2.7b in Griffiths.The sichtbar sind ( 1 − X 2 2 N ) − 1 4 Teil ist das klassische Verhalten und in diesem Fall scheinen die Graphen zusammenzupassen.

Verweise:

Hermite-Polynome auf Wikipedia

Siehe den Teil zum asymptotischen Verhalten für den obigen Ausdruck.

Danke! Die Exponentendiskrepanz scheint von der Quadrierung der Wellenfunktion zu stammen.
@djk Du hast genau recht. Es ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, nicht die Wahrscheinlichkeitsdichte, die proportional zur Hermite-Funktion für das QHO ist

An die klassische Grenze des harmonischen Oszillators würde ich mich lieber mit den "kohärenten Zuständen" annähern. Details können dem entsprechenden Wikipedia-Artikel entnommen werden .

Der Beweis liegt im Satz von Ehrenfest, der besagt, dass Quantenerwartungswerte klassischen Bewegungsgleichungen gehorchen (streng genommen, wenn sich das Potential langsam über die Entfernung ändert, in der die Wellenfunktion lokalisiert ist). Aber solche Zustände müssen überhaupt nicht klassisch aussehen (wie die höheren Hermite-Funktionen), also ist es ein bisschen irreführend. Wie mho betont, sind kohärente Zustände dem klassischen Verhalten näher und haben für den Spezialfall des harmonischen Oszillators einige nette Eigenschaften.

Klassische Grenze des harmonischen Quantenoszillators
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