Harmonische Oszillatorbeziehung mit diesem Hamiltonoperator

Lassen Sie uns kurz den harmonischen Quantenoszillator überprüfen. Wir haben ein einzelnes Teilchen, das sich in einer Dimension bewegt, also der Hilbert-Raum$L^2(\mathbb{R})$: die Menge der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen auf$\mathbb{R}$. Der harmonische Oszillator Hamiltonian ist gegeben durch

Wo$X$Und$P$sind die üblichen Orts- und Impulsoperatoren: wirken auf eine Wellenfunktion$\psi(x)$sie sind$X \psi(x) = x\psi(x)$Und$P \psi(x) = -i\hbar\ \partial \psi / \partial x$. Natürlich können wir sie uns auch als auf einen abstrakten Vektor wirkend vorstellen$|\psi\rangle$.

Indem man$P \to -i\hbar\ \partial/\partial x$konnten wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung lösen$H \psi = E \psi$, aber das ist ein bisschen schleppend. Also definieren wir stattdessen Operatoren$a$Und$a^\dagger$wie in deinem Beitrag. Beachten Sie, dass die Definition von$a$Und$a^\dagger$hat überhaupt nichts mit unserem Hamiltonian zu tun. Es ist einfach so, dass diese Definitionen praktisch sind, weil sich herausstellt, dass der Hamiltonoperator es ist$\hbar \omega (a^\dagger a + 1/2)$.

Der Einfachheit halber definieren wir den Zahlenoperator$N = a^\dagger a$; In diesem Stadium ist die Zahl nur ein Name ohne physikalische Interpretation. Verwendung der Kommutierungsrelation$[a,a^\dagger] = 1$und etwas Algebra merken wir das$N$hat ein nicht entartetes Spektrum, das durch die natürlichen Zahlen gegeben ist. Mit anderen Worten, die Eigenwerte von$N$Sind$\{0,1,2,\dots\}$, und zu jedem Eigenwert$n$es entspricht einem einzigen Zustand$|n\rangle$mit$N|n\rangle = n |n\rangle$. Beachten Sie, dass noch einmal$N$unabhängig von unserem Hamiltonoperator ist. Allerdings, denn der Hamiltonian entpuppt sich als$\hbar \omega (N+1/2)$Wir wissen sofort, dass die Staaten$|n\rangle$sind seine Eigenvektoren mit Energien$\hbar \omega (n + 1/2)$.

Jetzt erhalten Sie einen anderen Hamiltonoperator. Der Hilbert-Raum ist immer noch genau derselbe, und so sind es auch$a$,$a^\dagger$Und$N$, weil ihre Definition nichts mit dem ursprünglichen Hamiltonian zu tun hatte. Sie können ihre Eigenschaften weiterhin verwenden, um Energien, Eigenvektoren usw. zu finden. Die Staaten$|n\rangle$sind immer noch die Eigenzustände von$N$, obwohl sie a priori keine Eigenzustände des Neuen sein könnten$H$(Übung 31 fordert Sie auf, zu beweisen, dass es sich tatsächlich um Eigenzustände des Neuen handelt$H$). Der wichtige Punkt hier ist, dass Operatoren (normalerweise) unabhängig vom Hamiltonoperator definiert werden. Sie charakterisieren das physikalische System. Schließlich wissen Sie, dass es Operatoren gibt$X$Und$P$, und Sie haben keine Bedenken, sie mit verschiedenen Hamiltonianern zu verwenden. Der Hamiltonoperator gibt die Energie- und Zeitentwicklung an, aber die Observablen und zugehörigen Operatoren sind unabhängig von Ihrer Wahl des Hamiltonoperators.

Zur physikalischen Deutung... Übung 31 fordert Sie auf, das zu beweisen$H=\hbar\omega_0 N + \hbar \omega_1 (N^2-N)$; bemerken, dass wir losgeworden sind$\hbar\omega_0 /2$da es nur eine Konstante ist. würde ich normalerweise erwarten$\omega_1$kleiner sein als$\omega_0$Das ist also eine kleine Störung (für kleine$n$zumindest), aber das interessiert uns im Moment nicht wirklich. Sie können sehen, dass$|n\rangle$sind immer noch die Eigenzustände des Hamiltonoperators; alles, was wir getan haben, ist, die Energien um einen bestimmten Betrag zu verschieben$\hbar \omega_1 (N^2-N)$.

Die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren sind NICHT spezifisch für einen bestimmten Hamilton-Operator. Sie sind definiert durch$X$Und$P$die Positions- und Impulsoperatoren für JEDES System sind, das Sie studieren. Es hat sich einfach so herausgestellt, dass diese Operatoren die Berechnungen in SHO gezielt erleichtern. (Tatsächlich glaube ich, dass diese Operatoren aus Diracs Studie über SHO stammen.)

Ihr neuer Hamiltonianer unterscheidet sich formal von SHO, aber die OPERATOREN haben sich NICHT geändert!$N$ist immer noch das gleiche$N$! Da Argumente von$H$NUR einen Bediener einbeziehen$N$und beliebige Skalare,$H$Und$N$pendeln und damit Eigenzustände von$N$sind auch Eigenzustände von$H$. Also wenn$H$wirkt auf einen Eigenzustand von$N$, die Ausgabe ist nur die Energie. Hier merkt man das zwar$n$ZÄHLT nicht mehr das Anregungsniveau eines einzelnen Oszillators, es ist immer noch ein ausreichend gutes Etikett für die Energieniveaus Ihres neuen Systems.

Zusammenfassend der Betreiber$N$ist nur ein Werkzeug. Sie hätten Ihren Hamilton-Operator auch durch andere "geniale" (oder dumme) Operatoren ausdrücken und das Problem durch Eigenzustände dieser Operatoren lösen können!$N$ist keineswegs einzigartig. Es kann ohne Bezugnahme auf SHO allein existieren. Ich denke, das ist der größte Punkt zu machen.

Der Hamiltonoperator verschiedener Systeme ist unterschiedlich. Hamiltonoperatoren verschiedener Systeme müssen nicht verwandt sein. Ihnen wird beigebracht, die Dynamik des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik zu studieren, da sie mit der elektromagnetischen Feldquantisierung zusammenhängt, die Sie später lernen werden. Im Grunde genommen ist der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators derselbe wie beim Lichtfeld.

Wie auch immer, die Übung, die Sie uns präsentieren, fordert Sie auf, ein Quantensystem mit einem Gesamt-Hamilton-Operator von zu untersuchen$H=\hbar\omega_{0}a^{\dagger}a+\hbar\omega_{1}a^{\dagger}a^{\dagger}aa$. Daher sollten Sie dieses verwenden, um die Übung zu lösen.

Auch der Vernichtungsoperator ist in der Übung gegeben. Falls Sie sich fragen, das ist das gleiche wie die Beziehung, die Sie im harmonischen Oszillatorsystem finden. Ich werde Ihnen zeigen,

Ich kann sagen, dass Sie das grundlegende Konzept der Quantenmechanik verwechseln. Ich schlage vor, dass Sie zurückgehen und mehr Materialien lesen. Wenn Ihnen die Operatoren, wie Sie sagten, nicht klar sind, sollten Sie mehr über Mathematik für die Quantenmechanik lernen.

Ich denke, diese Übung ist nicht sehr schwer. Da Sie uns nur gebeten haben, die Verwirrung zu klären, die Sie mit dem Hamiltonian haben, werde ich darauf nicht weiter eingehen. Wenn Sie die Übung herausfordernd finden, fragen Sie uns bitte nach einem bestimmten Assistenten. Bitte beachten Sie, dass diese Seite nicht zum Lösen von Hausaufgaben, sondern zum Helfen bei Hausaufgaben dient. Wenn Sie meine Antwort nicht hilfreich finden, kommentieren Sie sie bitte unten.