Harmonischer Oszillator

Lassen | 0 ⟩ , . . . seien die Zustände des harmonischen Oszillators. Dann wurde ein gequetschter Zustand als definiert | ξ ⟩ = S ( ξ ) | 0 ⟩ , Wo S ( ξ ) := e 1 2 ( ξ ( A † 2 − A 2 ) ) , Wo A Und A † sind die kanonischen Operatoren, die mit dem Problem des harmonischen Oszillators in der QM verknüpft sind.

Das sollten wir jetzt zeigen S † ( ξ ) X S ( ξ ) = X e − ξ .

Ein Hinweis sagt, dass wir differenzieren sollen F ( ξ ) := S † ( ξ ) X S ( ξ ) und drücken Sie diesen Ausdruck in Form von aus F . Schließlich soll es eine Differentialgleichung geben, die dies tut.

Das Problem ist: Meiner Meinung nach ist die Ableitung nur: F ' ( ξ ) := 1 2 S † ( ξ ) ( A † 2 − A 2 ) X S ( ξ ) + 1 2 S † ( ξ ) X S ( ξ ) ( A 2 − A † 2 ) .

Jetzt sehe ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll.

Wenn etwas unklar ist, lassen Sie es mich bitte wissen.

Antworten (1)

Eine Möglichkeit ist, das zu merken S † ( ξ ) pendelt mit A † 2 − A 2 , und dass daher die Ableitung des ersteren geschrieben werden kann als

D D ξ S † ( ξ ) = ( A † 2 − A 2 ) S † ( ξ ) .
Damit können Sie schreiben F ' ( ξ ) bezüglich F ( ξ ) Und A † 2 − A 2 .

Dies ist jedoch als Differentialgleichung nicht sehr handhabbar. Stattdessen sollten Sie ein ähnliches Spiel mit dem rechten spielen, um es zu erhalten

F ' ( ξ ) := 1 2 S † ( ξ ) [ ( A † 2 − A 2 ) X + X ( A 2 − A † 2 ) ] S ( ξ ) .
Der Teil in eckigen Klammern ist ein Kommutator, den Sie auswerten können und sollten; es reduziert sich, wie es sein muss, auf einen einfachen Ausdruck, der nur eine Funktion von übrig lässt F ( ξ ) auf der rechten Seite.

Beachten Sie schließlich, dass, wenn Sie das bereits wissen F ( ξ ) wird erwartet e − ξ X , dann wissen Sie, was Sie erwartet F ' ( ξ ) im Sinne von sein ξ Und X und damit von F ( ξ ) .

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