Kohärente Zustandsentwicklung für einen gegebenen nicht üblichen Hamiltonoperator

Ich versuche, die zeitliche Entwicklung eines kohärenten Zustands zu berechnen$|\alpha\rangle$unter Verwendung eines gegebenen Hamiltonians der Form:

$$\hat{H}=\hbar \omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\alpha(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger})).$$ - Mein erster Versuch war es, die Aktion der zu finden $\hat{H}$über einen Fock-Zustand $|n\rangle$aufgrund der Tatsache, dass ich die kohärenten Zustände in Form der Fock-Zustände ausdrücken kann: $$|\alpha\rangle=e^{\frac{-\alpha^{2}}{2}}\sum_{n=0}{\frac{\alpha^{n}}{n!}}|n\rangle,$$ und das verwenden $f(\hat{H})|n\rangle=f(h_{n})|n\rangle$angreifen $e^{-i\hat{H}t/\hbar}$das erscheint bei der Berechnung der zeitlichen Entwicklung.

Mein Problem ist : Ich habe gefunden$\hat{H}|n\rangle$sein:

$$\hat{H}|n\rangle=\hbar \omega (n|n\rangle-\alpha\sqrt{n}|n-1\rangle-\alpha\sqrt{n+1}|n+1\rangle,$$ wo ich feststecke, da es nicht der Form entspricht $\hat{H}|n\rangle\propto |n\rangle$Also ich weiß nicht, was ich mit der Exponentialfunktion machen soll: $$e^{i\hat{H}t/\hbar}|n\rangle=e^{-i\omega t (\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\alpha(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}))}|n\rangle=?$$ Ich habe versucht, den Exponentialterm mit der BCH-Formel zu manipulieren, aber ich habe nichts als ein durcheinandergebrachtes Ergebnis erzielt

EDIT : Hier füge ich meine erreichte Antwort mit der BCH-Formel hinzu:

$$|\alpha(t)\rangle=e^{\frac{-\alpha ^{2}}{2}}e^{\frac{-\omega^{2}t^{2}(1+\alpha ^{2})}{2}}\sum_{n=0}\frac{\alpha ^{n}}{n!}e^{-i \omega t (n-\alpha \sqrt{n+1}-\alpha \sqrt{n})}|n\rangle,$$ was für mein unerfahrenes Auge falsch zu sein scheint. Vielen Dank im Voraus.