Verschwindet der mittlere Impuls für einen Eigenzustand des einfachen harmonischen Oszillators?

Angenommen, wir haben einen einfachen harmonischen Oszillator, betrachten wir den Grundzustand, | 0 ⟩ und der erste angeregte Zustand | 1 ⟩ .

⟨ 0 | P ^ | 0 ⟩ ist null richtig? Da sich das Teilchen entweder nach links oder rechts bewegen kann, wo P ^ ist der Impulsoperator.

Ähnlich denke ich ⟨ 1 | P ^ | 1 ⟩ = 0

Aber, ⟨ 0 | P ^ | 1 ⟩ ist nicht null, richtig? Da es sich um unterschiedliche Zustände handelt. Auch seit P ^ ist hermitesch, ⟨ 0 | P ^ | 1 ⟩ = ⟨ 1 | P ^ | 0 ⟩ , Rechts?

Warum versuchen Sie nicht, das Integral zu berechnen?
Verwenden Sie noch besser Hebe- und Senkoperatoren und berechnen Sie.
Oder noch besser, verwenden Sie die Paritätsinvarianz des Hamilton-Operators :)

Antworten (1)

Ihre korrekte Intuition ergibt sich aus einer Symmetrie des Hamilton-Operators, die als Paritätsinvarianz bezeichnet wird, was bedeutet, dass sie unter Reflexion gleich ist (es gibt also nichts, um links und rechts zu unterscheiden). Versuchen Sie, den Paritätsoperator zu betrachten, dh die unitäre Operation Π das macht X → − X Und P → − P . Insbesondere können Sie schreiben Π X Π = − X Und Π P Π = − P . Das solltest du auch zeigen können:

1) Der Hamiltonoperator pendelt mit Π (seit Π H Π = H ) und damit die Energieeigenzustände | N ⟩ sind Eigenzustände von Π .

2) Π 2 = 1 . Was sagt das über die Eigenwerte aus? π N von Π ?

3) ⟨ N | P | N ⟩ = ⟨ N | Π 2 P Π 2 | N ⟩ = − π N 2 ⟨ N | P | N ⟩ . Warum bedeutet dies das ⟨ N | P | N ⟩ = 0 ?

Schließlich folgt Ihr letzter Punkt nicht aus der Hermitizität von P . Eigentlich hast du nur die schwächere Kondition ⟨ 0 | P | 1 ⟩ = ( ⟨ 1 | P † | 0 ⟩ ) ∗ = ⟨ 1 | P | 0 ⟩ ∗ .

Verzeihung, P ^ hier bedeutet Impuls und nicht Paritätsoperator
@user44840 Ich habe die Frage verstanden, hast du meinen Beitrag sorgfältig gelesen? Es geht genau um die Matrixelemente des Impulsoperators , der ist P in meiner Notation. (Ich schreibe den Paritätsoperator als Π , und seine Eigenwerte sind Π | N ⟩ = π N | N ⟩ .) Sie können die Antworten auf viele Ihrer Fragen ableiten und verstehen, warum sie so sind, indem Sie die Symmetrien des Hamilton-Operators berücksichtigen. Insbesondere Ihre Intuition, dass sich das Teilchen "nach links oder rechts bewegen kann", wird in meiner Antwort mathematisch formalisiert.
warum ist Π X Π = − X ?
@ user44840 Nun, eine Möglichkeit, dies zu sehen, ist, dass diese Eigenschaft tatsächlich Teil einer mathematischen Definition von ist Π . Physikalisch ergibt sich diese Definition, weil Π stellt räumliche Spiegelung dar, dh Sie ersetzen das System durch sein Spiegelbild, wobei der Spiegel im Ursprung platziert wird X = 0 . Wenn Sie das System auf diese Weise widerspiegeln, ist keine Entfernungsmessung möglich X in Ihrem alten Koordinatensystem wird in den Wert transformiert − X im neuen, gespiegelten Koordinatensystem. Ebenso transformiert sich der Impuls als P = − ich ℏ ∂ ∂ X → − ich ℏ ∂ ∂ ( − X ) = − P .
@ user44840 Eine Möglichkeit, diese Transformation zu implementieren, besteht darin, einfach eine beliebige Wellenfunktion zu nehmen ψ ( X ) und ersetzen Sie es durch ψ ( − X ) . Abstrakter stellt sich heraus, dass dieser Vorgang als einheitliche Operation dargestellt werden kann. Wenn Sie die Zustände auf diese Weise modifizieren, müssen Sie eine entsprechende Transformation der Operatoren like anwenden Π P Π .
Ich bekomme die Operation des Paritätsoperators. Aber sollte es nicht gerecht sein Π P = − P ?
Stellen Sie sich vor, Sie möchten den Erwartungswert des Positionsoperators für einen paritätstransformierten Zustand auswerten | ψ ' ⟩ = Π | ψ ⟩ . Das ist
⟨ ψ ' | X ^ | ψ ' ⟩ = ( ⟨ ψ | Π † ) X ^ ( Π | ψ ⟩ ) = ⟨ ψ | ( Π † X ^ Π ) | ψ ⟩ .
Wir bekommen also das gleiche Ergebnis, ob wir nun von links auf den Staat einwirken Π | ψ ⟩ , oder lassen Sie den Zustand unverändert, ändern Sie aber den Positionsoperator in Π † X ^ Π .
Trotzdem zeigt es nicht warum Π X Π = − X ?
@ user44840 Wenn wir die Integrale tatsächlich berechnen, finden wir das
( ⟨ ψ | Π † ) X ^ ( Π | ψ ⟩ ) = ∫ D X ψ ∗ ( − X ) X ψ ( − X ) = − ∫ D X ψ ∗ ( X ) X ψ ( X ) = ∫ D X ψ ∗ ( X ) [ − X ] ψ ( X ) ,
nach dem Ändern von Variablen aus X Zu − X . Wenn Sie dies mit dem vergleichen, was ich oben geschrieben habe, sehen Sie das Π † X Π = − X . Schließlich, weil Sie das leicht zeigen können Π 2 = 1 , es folgt dem Π † = Π , seit Π ist einheitlich. Der Beweis dafür Π Einheitlich wäre auf diesem kleinen Raum mühsam, aber es ist nicht schwer.
Wie sind Sie vom zweiten zum dritten Schritt gekommen?
@user44840 Geänderte Variablen von X → − X .
Und ⟨ 0 | P ^ | 1 ⟩ = ⟨ 1 | P ^ | 0 ⟩ weil die ersten beiden Zustände eines SHM real sind
@ user44840 Richtig. Denken Sie daran, dass Sie die Zustände immer multiplizieren können | N ⟩ durch willkürlich komplexe Phasen, in diesem Fall ist Ihre Behauptung nicht unbedingt wahr. Es ist üblich (und in der Tat bequem), die Zustände als real zu definieren.
Das bedeutet also, dass der durchschnittliche Impuls für jeden Eigenzustand des HO 0 ist?
Verschwindet der mittlere Impuls für einen Eigenzustand des einfachen harmonischen Oszillators?
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