Hermitescher Adjunkt des Differentialoperators

Ich bin auf diese Gleichung (Identität) gestoßen (Gleichung 4 in diesem Artikel ):

∫ ( − ich D ψ / D X ) ∗ ψ D X = ∫ ψ ∗ ( − ich D ψ / D X ) D X + ich D ( ψ ∗ ψ ) / D X ∣ − ∞ + ∞

Ich habe Probleme, es zu beweisen. Ich habe versucht, die Integration nach Teilen zu verwenden, konnte aber nicht dorthin gelangen. Wie nehmen wir komplex konjugiert (Hermitian Adjoint) des Differentialoperators, der in dieser Gleichung vorkommt, und auch von jeder allgemeinen Funktion.

Antworten (1)

Beachte das

ich D ( ψ ∗ ψ ) D X = D [ ( − ich ψ ) ∗ ψ ] D X = D ( − ich ψ ) ∗ D X ψ + ( − ich ψ ) ∗ D ψ D X = ( − ich D ψ D X ) ∗ ψ + ψ ∗ ( ich D ψ D X )
Subtrahiere nun den zweiten Term rechts von beiden Seiten, um zu erhalten
ψ ∗ ( − ich D ψ D X ) + ich D ( ψ ∗ ψ ) D X = ( − ich D ψ D X ) ∗ ψ
und binden schließlich beide Seiten ab − ∞ Zu ∞ zu erhalten (wie Stan Liou in den Kommentaren betonte)
∫ − ∞ ∞ ψ ∗ ( − ich D ψ D X ) + ich ψ ∗ ψ | − ∞ ∞ = ∫ − ∞ ∞ ( − ich D ψ D X ) ∗ ψ
Beachten Sie, dass der Grenzterm, den Sie in die Identität geschrieben haben, eine fehlerhafte Ableitung hat, die verschwindet, wenn Sie das Integral tatsächlich auswerten und den Fundamentalsatz der Analysis verwenden.

Sie haben Recht, außer dass es nicht die gewünschte Identität ist, weil die gewünschte Identität einfach falsch ist. Ich vermute einen Tippfehler im Artikel.
@StanLiou Hmm wirklich? Fehlt vielleicht ein Schild? Ich kann nicht sehen, wo ein Fehler ist.
Wenn Sie integrieren, erhalten Sie eine ich ( ψ ∗ ψ ) ∣ − ∞ + ∞ Begriff, anstatt ich D ( ψ ∗ ψ ) / D X ∣ − ∞ + ∞ wie das OP hat.
Ah, natürlich. Danke für den Hinweis! Ich habe irgendwie immer den richtigen Grenzbegriff gesehen, obwohl ich ihn ein paar Minuten lang angestarrt habe. Danke Stan.
Es scheint kein Tippfehler in der Arbeit zu sein, da der Autor explizit die Ableitung der Dichte erwähnt ( ψ ∗ ψ ) in der Zeile nach der Gleichung. Beginnend mit LHS (und nicht umgekehrt ) , wie erhalten wir RHS?
@DurgaDatta Scheint mir ein Fehler zu sein. Selbst aus Dimensionsgründen macht der Grenzterm mit einer Ableitung darin keinen Sinn.
@DurgaDatta Die Identität ist einfach falsch und leicht zu korrigieren. Der Autor bezieht sich im Folgenden überhaupt nicht auf die falsche Version – er sagt, dass „das Produkt ψ ∗ ψ = ρ " verschwindet an der Grenze bei Unendlich, was eigentlich für die Hermitizität benötigt wird. Er sagt, dass außerdem die Ableitungen verschwinden, was Ihnen möglicherweise diesen Eindruck vermittelt hat. Die nächste Aussage bezüglich eines nicht verschwindenden Rests in 3D ist nicht eindeutig bezüglich welcher Version der Identität, die er im Sinn hat, also nicht explizit verwendet ich D ( ψ ∗ ψ ) / D X ∣ − ∞ + ∞ überall.
Exaktes Zitat: „Das Produkt ψ ∗ ψ = ρ , und die Dichte zusammen mit ihren Ableitungen verschwinden an den Grenzen im Unendlichen, aber nicht, wenn die Grenze einen endlichen Wert hat. ..." Was schlecht formuliert erscheint, aber dass er das behauptet ρ ∗ ρ zu den Dingen gehört, die an der Grenze zur Unendlichkeit verschwinden, ist klar. Seine nachfolgenden Schlüsse folgen also genauso gut aus der korrigierten Version.
Gibt es einen alternativen Weg, die Gleichung (korrigiert) zu beweisen, indem man mit der linken Seite beginnt? Ich möchte wissen, wie man denken würde, wenn man (zum ersten Mal) die linke Seite sieht, und möchte dies mental mit seiner entsprechenden rechten Form vergleichen.
@DurgaDatta Sobald die zusätzliche Ableitung entfernt ist (da sie aus Dimensionsgründen inkonsistent ist, wie Josh sagte), ist die Formel nur ein besonderer Fall der Integration durch Teile mit einigen ich eingestreut, deren Konjugate einige Vorzeichen ändern. Sie können es also mit der IbP-Formel beweisen, ohne Begriffe über die Seiten zu verschieben. Aber IbP selbst ist nur eine Neuanordnung des Integrals der Leibniz-Regel zur Differenzierung, also würden Sie eigentlich sowieso dasselbe tun wie diese Antwort.
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