Ist der Eigenwert der Hamilton-Invariante unter linearer Transformation des Impulsoperators?

Es ist gegeben

Die Dynamik eines Teilchens, das sich eindimensional in einem Potential V(x) bewegt, wird durch den Hamilton-Operator bestimmt H 0 = P 2 / 2 M + v ( X ) , Wo P = − ich ℏ D / D X ist der Impulsoperator. Lassen E N ( 0 ) , N = 1 , 2 , 3... seien die Eigenwerte von H 0 . Betrachten Sie nun einen neuen Hamiltonoperator H = H 0 + λ P / M , Wo λ ist ein vorgegebener Parameter. Gegeben λ , M Und E N ( 0 ) , finde die Eigenwerte von H.

Jetzt war die Lösung praktischerweise gegeben, wo die H wurde in eine Form umgewandelt P ' = P + λ so dass,

H = ( P + λ ) 2 / 2 M + v ( X ) − λ 2 / 2 M

Wo ein anderer Hamiltonianer H ' wurde so definiert, dass

H ' = P ' 2 / 2 M + v ( X )

Aber es sagt die Eigenwerte von H ' sind die gleichen wie die von H 0 , dh, E N ( 0 ) , N = 1 , 2 , 3...

Daher, H + λ 2 / 2 M = H ' Und

( H + λ 2 / 2 M ) ψ = H ' ψ

H ψ + ( λ 2 / 2 M ) ψ = E N ( 0 ) ψ

H ψ = [ E N ( 0 ) − λ 2 / 2 M ] ψ

Daher sind die Eigenwerte von H Sind,

E N ( 0 ) − λ 2 / 2 M , N = 1 , 2 , 3...

Aber warum bleiben die Eigenwerte bei einer solchen Transformation des Impulsoperators invariant? Ich habe den Übersetzungsoperator gesucht und erfahren, dass Hamiltonian und Translation pendeln, aber der Übersetzungsoperator ändert sich linear X , nicht P .

Wäre es auch möglich, es ohne die Verwendung des Übersetzungsoperators zu erklären?

Antworten (2)

Das ist weil H ' = U H U − 1 für einen bestimmten unitären Operator U , Deshalb ψ ist ein Eigenvektor von H mit einem Eigenwert if an only if U ψ ist Eigenvektor von H ' mit gleichem Eigenwert. Somit haben die beiden Operatoren das gleiche Punktspektrum. U = e ich λ X / ℏ .

Aus [ X , P ] = ich ℏ ICH findet man

e − ich λ X / ℏ P e ich λ X / ℏ = P + λ ICH .
Andererseits
e − ich λ X / ℏ v ( X ) e ich λ X / ℏ = v ( X )
Als Konsequenz (mit ℏ = 1 )
U H U − 1 = U ( 1 2 M P 2 + v ( X ) ) U − 1 = 1 2 M U P U − 1 U P U − 1 + U v ( X ) U − 1 = 1 2 M ( P + λ ICH ) 2 + v ( X ) = H ' .

Die angegebene Transformationsrechnung habe ich durchgeführt U = e ich λ X / ℏ konnte aber die Transformation nicht bekommen H ' , könnten Sie das näher erläutern?
@VladeKR fertig! (Ich habe auch das Vorzeichen im Exponenten korrigiert)
Es ist gegeben e A B e − A = B + [ A , B ] + 1 2 ! [ A , [ A , B ] ] + . . . Wo, B = P Und A = ich λ X / ℏ Daher die Umwandlung von P Ist P + [ ich λ X / ℏ , P ] + 1 2 ! [ ich λ X / ℏ , [ ich λ X / ℏ , P ] ] . . . aber weil [ ich λ X / ℏ , P ] = ich λ / [ ¯ X , P ] = − λ somit ergeben weitere Kommutierungsbeziehungen Null.
Wollen Sie damit sagen, dass das Anfangszeichen richtig war? (Im Exponenten meine ich)
Oh, das war mir gar nicht bewusst ... Ich habe nur die Transformation ausgearbeitet, weil mir die Transformationssequenz nicht sofort klar war.
OK, ich habe das Vorzeichen noch einmal korrigiert. Ihr Beweis ist formal korrekt (eigentlich ist der wahre Beweis anders, weil Sie auf diese Weise keine Exponentiale von unbeschränkten Operatoren wie erweitern können X Und P , aber das ist eine andere Klasse von Problemen, machen Sie sich in diesem Stadium Ihres Wissens keine Sorgen ...)

Aus der Gleichung H ist eine lineare Funktion von H 0 . In diesem Fall sind die Eigenwerte von H 0 sind Eigenwerte von H Auch. Deshalb bleiben die Eigenwerte bei einer solchen Transformation invariant.

Ist der Eigenwert der Hamilton-Invariante unter linearer Transformation des Impulsoperators?
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