Hamiltonoperator in Polarkoordinaten mit Impulsoperatoren

Question

Hamiltonoperator in Polarkoordinaten mit Impulsoperatoren

Kasper

Der Hamilton-Operator für ein freies nicht-relativistisches Teilchen sieht so aus

\hat{H} = \frac{{\hat{P}}^{2}}{2 M} = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \nabla^{2} .

$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2.$

In Polarkoordinaten erweitert sich der Laplace-Operator zu

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} (\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial R} (R \frac{\partial}{\partial R}) + \frac{1}{R^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}}) .

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \left (\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \right).$

Die Radial- und Drehimpulsoperatoren sind

\begin{aligned} {\hat{P}}_{R} = \frac{ℏ}{ich} (\frac{\partial}{\partial R} + \frac{1}{2 R}) & {\hat{P}}_{θ} = \frac{ℏ}{ich} \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial θ} . \end{aligned}

$\begin{align*} \hat{p}_r = \frac{\hbar}{i} \left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{2r}\right) && \hat{p}_\theta = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}. \end{align*}$

Nach dem Quadrieren, Summieren und Vergleichen mit dem Hamilton-Operator finden wir das

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} ({\hat{P}}_{R}^{2} + {\hat{P}}_{θ}^{2}) - \frac{ℏ^{2}}{8 M R^{2}} .

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} ( \hat{p}_r^2 + \hat{p}_\theta^2 ) - \frac{\hbar^2}{8mr^2}.$

In der klassischen Mechanik erwarten wir das $p^2 = p_r^2 + p_\theta^2$ , gilt das nicht in der Quantenmechanik? Warum ist das merkwürdig $- \frac{\hbar^2}{8mr^2}$ Potenzial erscheinen, hat es eine Bedeutung?

Nachtrag

Um die Wahl des Radialimpulsoperators zu verdeutlichen, betrachten wir das Naive $\hat{p}'_r = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial r}$ . Mit dem Adjunkt finden wir das

⟨ ϕ, {\hat{P}}_{R}^{'} ψ ⟩ = \int D θ \int_{0}^{+ \infty} R D R ϕ^{*} \frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial R} ψ = - \int D θ \int_{0}^{+ \infty} R D R \frac{ℏ}{ich} (\frac{\partial ϕ^{*}}{\partial R} + \frac{ϕ^{*}}{R}) ψ = \int D θ \int_{0}^{+ \infty} R D R \frac{ℏ}{- ich} (\frac{\partial}{\partial R} + \frac{1}{R}) ϕ^{*} ψ \neq ⟨ {\hat{P}}_{R}^{'} ϕ, ψ ⟩

$\langle \phi, \hat{p}'_r \psi \rangle = \int d\theta \int_0^{+\infty} r dr \phi^* \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial r} \psi = - \int d\theta \int_0^{+\infty} r dr \frac{\hbar}{i} \left( \frac{\partial \phi^*}{\partial r} + \frac{\phi^*}{r} \right)\psi = \int d\theta \int_0^{+\infty} rdr \frac{\hbar}{-i} \left( \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r} \right) \phi^* \psi \neq \langle \hat{p}'_r \phi, \psi \rangle$

Mit einem zusätzlichen Begriff $\frac{\hbar}{i} \frac{1}{2r}$ es ist selbstadjungiert. Dieser Term unterscheidet sich von dem in Kugelkoordinaten um den Faktor 2.

G. Smith

Siehe physical.stackexchange.com/q/9349

Kasper

Ich bin mir dieser Frage bewusst, ich habe meine Nachforschungen angestellt, aber ich sehe keine Ähnlichkeit. Ich frage nicht, wie man den Radialimpulsoperator konstruiert, und ich verwende den richtigen. Ich frage, warum eine "naive" Zerlegung des Hamilton-Operators nicht funktioniert und was die Bedeutung des inversen quadratischen potentialähnlichen Begriffs ist. Dies könnte etwas mit dem Radialimpulsoperator zu tun haben, wird jedoch in der verknüpften Frage nicht erörtert (die übrigens Kugelkoordinaten verwendet, bei denen dieser zusätzliche Begriff nicht angezeigt wird).

G. Smith

Da Sie einen anderen Radialimpulsoperator verwenden als die Antworten im anderen Fragekonstrukt, müssen Sie begründen, warum es „der Richtige“ ist. Sagt wer, außer dir?

Kasper

Wie gesagt, sie verwenden sphärische Koordinaten, was den Operator etwas anders macht. Auch hier geht es bei meiner Frage nicht um die Konstruktion des Radialimpulsoperators, ich brauche hier nicht die grundlegende Quantenmechanik zu wiederholen. Wiederholen Sie die verlinkte Ableitung für Polar- oder Zylinderkoordinaten oder googlen Sie einfach, wenn Sie neugierig sind

Jakob1729

@KasperMeerts Die Antwort von Yayu in der verknüpften Frage scheint nicht spezifisch für sphärische Koordinaten zu sein. Es sieht auf jeden Fall wie der Faktor aus

2

$2$ in Ihrer Definition von

p_{r}

$p_r$ ist der Übeltäter.

Kasper

Ich bin mir sicher, dass der Faktor stimmt. Ich fürchte, ich kann Yayus Argumentation nicht wirklich nachvollziehen

G. Smith

Danke für den hilfreichen Nachtrag. Ich bin überzeugt. Entschuldigung, ich wusste nicht, dass die andere Frage nicht anwendbar war.

Antworten (2)

Hamiltonoperator in Polarkoordinaten mit Impulsoperatoren

Ich bin mir dieser Frage bewusst, ich habe meine Nachforschungen angestellt, aber ich sehe keine Ähnlichkeit. Ich frage nicht, wie man den Radialimpulsoperator konstruiert, und ich verwende den richtigen. Ich frage, warum eine "naive" Zerlegung des Hamilton-Operators nicht funktioniert und was die Bedeutung des inversen quadratischen potentialähnlichen Begriffs ist. Dies könnte etwas mit dem Radialimpulsoperator zu tun haben, wird jedoch in der verknüpften Frage nicht erörtert (die übrigens Kugelkoordinaten verwendet, bei denen dieser zusätzliche Begriff nicht angezeigt wird).
Da Sie einen anderen Radialimpulsoperator verwenden als die Antworten im anderen Fragekonstrukt, müssen Sie begründen, warum es „der Richtige“ ist. Sagt wer, außer dir?
Wie gesagt, sie verwenden sphärische Koordinaten, was den Operator etwas anders macht. Auch hier geht es bei meiner Frage nicht um die Konstruktion des Radialimpulsoperators, ich brauche hier nicht die grundlegende Quantenmechanik zu wiederholen. Wiederholen Sie die verlinkte Ableitung für Polar- oder Zylinderkoordinaten oder googlen Sie einfach, wenn Sie neugierig sind
@KasperMeerts Die Antwort von Yayu in der verknüpften Frage scheint nicht spezifisch für sphärische Koordinaten zu sein. Es sieht auf jeden Fall wie der Faktor aus $2$ in Ihrer Definition von $p_r$ ist der Übeltäter.
Ich bin mir sicher, dass der Faktor stimmt. Ich fürchte, ich kann Yayus Argumentation nicht wirklich nachvollziehen
Danke für den hilfreichen Nachtrag. Ich bin überzeugt. Entschuldigung, ich wusste nicht, dass die andere Frage nicht anwendbar war.

Leere · Answer 1

Koordinatentransformationen funktionieren in der Quantenmechanik nicht wie in der klassischen Mechanik. Insbesondere ist die kanonische Quantisierung in Bezug auf die meisten Transformationen im Phasenraum oder sogar nur in Bezug auf räumliche Koordinatentransformationen nicht unveränderlich. Am Ende des Tages besteht ein einfaches Rezept darin, die Schrödinger-Gleichung einfach in kartesische Koordinaten als partielle Differentialgleichung umzuwandeln, ohne die neuen Terme als Impulse in Bezug auf die neuen Koordinaten zu interpretieren . Lassen Sie mich meinen Punkt unten veranschaulichen.

Wenn Sie Koordinatentransformationen in QM diskutieren, können Sie einen der beiden Ansätze wählen:

Sie quantisieren in kartesischen Koordinaten $x^i$ , und transformieren die Schrödinger-Gleichung für $\psi^{(x)}(x^i)$ zu einem neuen Satz von Koordinaten $q^i$ . Das heißt, Sie verfolgen sorgfältig die Transformation des Differentialoperators $\sum_i \partial^2/\partial {x^i}^2$ und das Volumenelement $d^3 x$ nach den üblichen mathematischen Regeln. Wie bereits erwähnt, gibt es nicht wirklich eine Interpretation in Bezug auf kanonische Impulse der neuen Gleichungen, aber das Schöne ist $|\psi^{(x)}(q^i)|^2$ hat die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsdichte pro tatsächlichem physikalischem Volumen in beliebigen Koordinaten.
Sie führen eine Koordinatentransformation auf dem Koordinatenteil des Phasenraums zu einigen neuen Koordinaten durch $q^i$ . Dann quantisierst du kanonisch, was jeden deiner kanonischen Impulse nur so ersetzt $p_i \to \hat{P}_i = -i \hbar \partial/\partial q^i$ im Hamiltonian. Die resultierende Schrödinger-Gleichung gilt für eine Wellenfunktion $\psi^{(q)}(q^i)$ das entspricht einem Koordinatenvolumen $d^3 q$ .

Betrachten Sie das Beispiel der sphärischen Polarkoordinaten. Ansatz 1. ergibt die Schrödinger-Gleichung als

- ich ℏ \frac{\partial ψ^{(X)}}{\partial T} = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} (\frac{1}{R^{2}} \frac{\partial}{\partial R^{2}} (R^{2} \frac{\partial}{\partial R}) + \frac{1}{R^{2} Sünde θ} \frac{\partial}{\partial θ} (Sünde θ \frac{\partial}{\partial θ}) + \frac{1}{R^{2} {Sünde}^{2} θ} \frac{\partial^{2}}{\partial φ^{2}}) ψ^{(X)} + v (R, θ, φ) ψ^{(X)}

$-i\hbar \frac{\partial \psi^{(x)}}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \left (\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r^2} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \! \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\right)\psi^{(x)} + V(r,\theta, \varphi)\psi^{(x)}$ Die Quantität

| ψ^{(x)} (r, θ, φ) |^{2}

$|\psi^{(x)}(r,\theta,\varphi)|^2$ ist hier die Dichte pro physikalischem Volumen

r^{2} \sin θ d r d θ d φ

$r^2 \sin\theta\, dr d\theta d \varphi$ .

Für Ansatz 2. müssen wir zuerst den klassischen Hamiltonoperator in Polarkoordinaten transformieren

H = \frac{1}{2 M} (P_{R}^{2} + \frac{P_{θ}^{2}}{R^{2}} + \frac{P_{φ}^{2}}{R^{2} {Sünde}^{2} θ}) + v (R, θ, φ)

$H = \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\varphi^2}{r^2 \sin^2\! \theta}\right) + V(r,\theta,\varphi)$ Jetzt haben wir

{\hat{P}}_{r} = - i ℏ \partial / \partial r, {\hat{P}}_{θ} = - i ℏ \partial / \partial θ, {\hat{P}}_{φ} = - i ℏ \partial / \partial φ

$\hat{P}_r = -i\hbar \partial/\partial r, \hat{P}_\theta = -i\hbar \partial/\partial \theta, \hat{P}_\varphi = -i\hbar \partial/\partial \varphi$ , und die Schrödinger-Gleichung ist es offensichtlich

- ich ℏ \frac{\partial ψ^{(S P H)}}{\partial T} = \hat{H} ψ = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} (\frac{\partial^{2}}{\partial R^{2}} + \frac{1}{R^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} + \frac{1}{R^{2} {Sünde}^{2} θ} \frac{\partial^{2}}{\partial φ^{2}}) ψ^{(S P H)} + v (R, θ, φ) ψ^{(S P H)}

$-i\hbar \frac{\partial \psi^{\rm (sph)}}{\partial t} = \hat{H}\psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \left (\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \! \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\right)\psi^{\rm (sph)} + V(r,\theta, \varphi)\psi^{\rm (sph)}$ Beachten Sie, dass jetzt die Bedeutung von

| ψ^{(s p h)} |^{2}

$|\psi^{\rm (sph)}|^2$ ist die einer Dichte pro Koordinatenvolumen

d r d φ d ϑ

$dr d\varphi d\vartheta$ . Dies würde darauf hindeuten, dass die beiden Wellenfunktionen durch einen Faktor in Beziehung stehen

r \sqrt{\sin θ}

$r \sqrt{\sin \theta}$ und vielleicht ein Phasenfaktor. Wenn Sie jedoch versuchen, eine Gleichung auf diese Weise in eine andere umzuwandeln, sehen Sie, dass sie einfach inäquivalent sind.

Nur eine der beiden Gleichungen kann wahr sein, weil sie unterschiedliche experimentelle Vorhersagen liefern. Es stellt sich heraus, dass die richtige Gleichung die durch den kartesischen Ansatz 1 erhaltene ist . Mehr zur Frage der Koordinaten für die Quantisierung finden Sie in dieser Antwort .

Ladmon Draxngfüskiii · Answer 2

Der Hauptgrund, warum Sie die Komponenten hier nicht direkt quadrieren können, sind die Basisvektoren $\hat{r}$ Und $\hat{\theta}$ ändern sich mit den Koordinaten. Der zweite Grund ist, dass die Metrik dieser Koordinate es nicht ist $\mathbf{1}$ . (Diese Koordinate ist eine gekrümmte orthogonale Koordinate, aber die kartesische Koordinate ist eine flache Koordinate.) Also, wenn die Ableitung eines Vektorfeldes genommen wird $\mathbf{F}$ , du hast

\partial_{J} F = \partial_{J} F^{ich} G_{ich} + F^{ich} \partial_{J} G_{ich} = (\partial_{J} F^{ich} + F^{k} Γ_{J k}^{ich}) G_{ich}

$\partial_j\mathbf{F}=\partial_j F^i\mathbf{g}_i+F^i\partial_j\mathbf{g}_i=\left(\partial_jF^i+F^k\Gamma^i_{jk}\right)\mathbf{g}_i$ Wobei der zusätzliche zweite Term aus der Differenz von Basisvektoren an verschiedenen Punkten stammt.

Daher $\nabla\cdot\mathbf{F}=\partial_iF^i=\left(\partial_iF^i+F^k\Gamma^i_{ik}\right)\mathbf{g}_i=\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_k(\sqrt{g}F^k)$ . Der $\nabla^2$ Betreiber ist dann $\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\partial_i\partial^i=\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_k(\sqrt{g}\partial^k)=\frac{1}{\Pi_kA_k}\partial_i(\frac{\Pi_jA_j}{A_i^2}\partial_i)$ . Wo $A_i$ sind die Lame-Konstanten.

Hier das $A_i$ Sind $1$ Und $r$ jeweils einfach in die Formel für einsetzen $\nabla\cdot$ Und $\nabla^2$ Du erhältst $\nabla_r=\frac{1}{r}\partial_r r=\frac{1}{r}+\partial_r$ (Sie hatten einen falschen Koeffizienten) und $\nabla_\theta=\frac{1}{r}\partial_\theta$ . Und

\nabla^{2} = \frac{1}{R} (\partial_{R} (R \partial_{R}) + \partial_{θ}^{2})

$\nabla^2=\frac{1}{r}\left(\partial_r \left(r\partial_r\right)+\partial^2_\theta\right)$

Ich denke nicht, dass es notwendig ist, zu 3D zu gehen, der Hamiltonian ist für zweidimensionale Räume gut definiert. Jedenfalls als $\hat{p}_z$ pendelt mit allem, das käme nur noch hinzu $\frac{\hat{p}_z^2}{2m}$ Term, was am radialpotentialartigen Term nichts ändern würde.
@KasperMeerts Es ist in 2D in Ordnung, aber die Koordinaten hier sind gekrümmt, sodass die Terme nicht direkt multipliziert werden können.

Hamiltonoperator in Polarkoordinaten mit Impulsoperatoren

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Jakob1729

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G. Smith

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Ladmon Draxngfüskiii

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