Der Impulsoperator, der auf einen gebundenen Zustand wirkt, gibt keinen Eigenwert zurück, der kinetische Energieoperator jedoch. Warum?

Für den speziellen Fall des Partikel-in-einer-Box-Problems ist der Impulsoperator viel schwieriger zu handhaben als das, was Sie zulassen, aber das ist nicht das Problem, das den Kern Ihrer aktuellen Verwirrung ausmacht.

Wenn Sie wissen, dass zwei Operatoren$A$Und$B$pendeln, dh$[A,B]=0$, dann gibt es zwei gängige Möglichkeiten, die Konsequenzen zu verstehen, von denen eine richtig und eine falsch ist:

• Ihnen wird die Existenz mindestens einer gemeinsamen Eigenbasis beider Operatoren garantiert; Aber

• Es ist nicht garantiert, dass alle Eigenbasen von$A$werden Eigenbasen von sein$B$, oder umgekehrt.

(Für andere Vorkommen des Missverständnisses, dass der zweite Punkt vorkommt, siehe z. B. diese Antwort oder diese .)

Somit ist der von Ihnen beobachtete „Widerspruch“ auch für den Fall des freien Teilchens ohne die Box vorhanden: die Wellenfunktion$\psi(x)=\cos(kx)$ist eine Eigenfunktion von$\hat H=\frac{1}{2m}\hat P^2$, ist aber keine Eigenfunktion von$\hat P$. Das heißt, die Tatsache, dass die Hamilton-Eigenfunktionen über ein kompaktes Intervall keine Impuls-Eigenfunktionen sind, ist nicht überraschend und nicht spezifisch für diese Konfiguration.

Aber, das heißt, Sie können immer noch so etwas fragen wie

Nun, OK, also etwas$\hat H$Eigenfunktionen im Particle-in-a-Box-Problem sind es nicht$\hat P$Eigenfunktionen und das ist kein Problem, aber$[\hat H,\hat P]=0$ist immer noch wahr, sollte mir also nicht eine gemeinsame Eigenbasis garantiert werden, auch wenn es nicht die ist, mit der ich begonnen habe?

und es ist eine vernünftige Frage. Was hier passiert, ist, dass die Feinheiten mit dem Impulsoperator für kompakte Intervalle auf einer viel tieferen Ebene als nur der Kommutierung eintreten: Das Ergebnis lautet vollständig

Wenn zwei selbstadjungierte Operatoren$A$Und$B$pendeln, dann gibt es mindestens eine gemeinsame Eigenbasis,

und es bricht, weil$\hat P$-in-a-box ist kein selbstadjungierter Operator: er ist symmetrisch , aber er hat Domänenprobleme, die ihn daran hindern, selbstadjungiert zu sein . Die Folgen davon sind so tiefgreifend wie sie nur sein können: Es gibt einfach keine Impuls-Eigenbasis in diesem Hilbert-Raum. Sie können den Impulsoperator erweitern , um ihn selbstadjungiert zu machen; Diese Erweiterung ist nicht eindeutig, aber es gibt eine vernünftige Auswahl (setting$\alpha=0$in der Antwort von V. Moretti), das dem Machen nahe kommt$\hat H$das Quadrat des Erweiterten$\hat P_\alpha$, aber letztendlich kann das nicht funktionieren, da sie unterschiedliche Domänen haben. (Genauer gesagt die Domäne von$\hat H$ist in der Domäne von enthalten$\hat P_\alpha$, aber die Eigenfunktionen von$\hat P_\alpha$fallen nicht in diesen Unterraum.)

Um der Antwort von Emilio Pisanty einen Kontext hinzuzufügen, ergibt sich Ihre Frage aus Ihrem unzureichenden Verständnis der entscheidenden Rolle der Funktionsanalyse in der Quantenmechanik. Diese Rolle ist definitiv nicht in der Standard-Universitätsausbildung verankert und fehlt in den meisten Büchern, die als Lehrbücher für Kurse dienen.

Wenn Sie sagen: „Das wissen wir$[H,P] = i\hbar \frac{d V(x)}{dx}$", MÜSSEN Sie verstehen, dass es eine ganze Bibliothek über Funktionsanalyse gibt (ich kann Ihnen sechs Bücher aus dem Kopf geben), die dazu dienen könnten, diese Aussage zu beweisen, indem sie genaue Bedingungen angeben, unter denen dies wahr ist.

Sie verstehen also wahrscheinlich nicht die Antwort auf diese Frage, die Ihnen freundlicherweise zur Verfügung gestellt wurde, aber ich bin sicher, Sie verstehen, dass es nicht Ihre Schuld ist, dass die Bücher, die Sie gelesen haben, keine Elemente der Funktionsanalyse in (manipulierten) Hilbert-Räumen enthielten mit Anwendung in der Quantenmechanik.