Kanonische Kommutierungsbeziehungen in beliebigen kanonischen Koordinaten

Das Quantisierungsrezept

$$[\hat{x},\hat{y}] := \mathrm{i}\hbar\widehat{\{x,y\}}\tag{1}$$ für $x,y$zwei klassische Phasenraumkoordinaten haben ihre Feinheiten. Insbesondere führt dies, wie die Antwort in der verknüpften Frage sagt, zu inkonsistenten Ergebnissen, wenn es beispielsweise auf Polarkoordinaten angewendet wird. Der Grund dafür ist zweifach:

1. Für die radiale Koordinate$r$, der naive Operator$\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\frac{\partial}{\partial r}$ist nicht selbstadjungiert on$L^2([0,R],\mathrm{d}x)$aufgrund nicht übereinstimmender Domänen von ihm und seinem Adjunkten. Das minimale selbstadjungierte Rendern löst das Problem jedoch nicht, da

2. Wir sollten die Poisson-Klammer überhaupt nicht verwenden.

Warum nicht, werden Sie vielleicht fragen, und warum funktioniert es normalerweise trotzdem? Wir sollten es nicht verwenden, da das Theorem von Groenewold-van Hove besagt, dass kein Quantisierungsverfahren konsistent eine Abbildung klassischer Phasenraumfunktionen liefern kann$f$zu quantenmechanischen Operatoren$\hat{f}$so dass

1. $(1)$hält

2. für jedes Polynom$p$wir bekommen$\widehat{p(f)} = p(\hat{f})$für jede Phasenraumfunktion$f$

3. Operatoren, die mit allem vertauschen, sind Vielfache der Identität (Irreduzibilität der Darstellung der Algebra der Observablen)

Also müssen wir eines davon aufgeben, und ein Weg, der die richtige quantisierte Theorie liefert, sogar für z. B. Polarkoordinatenwahlen, ist die Verwendung der Vorschrift

$$[\hat{x},\hat{y}] := \mathrm{i}\hbar\widehat{\{\{x,y\}\}}$$ wobei die doppelten geschweiften Klammern nun die Moyal-Klammer anzeigen , die eine Deformation der Poisson-Algebra mit Parameter ist $\hbar$so dass es mit der Poisson-Klammer erster Ordnung übereinstimmt: $$\{\{f,g\}\} = \{f,g\} + \mathcal{O}(\hbar)$$ Dieser Ansatz ist als Deformationsquantisierung bekannt , und wenn man die explizite Definition der Moyal-Klammer (angegeben im verlinkten Wikipedia-Artikel) in kanonischen kartesischen Koordinaten untersucht (da sie bei kanonischen Transformationen nicht erhalten bleibt), sieht man, dass sie mit der Poisson-Klammer übereinstimmt, wenn angewendet auf kartesische Koordinaten $x,p_x$, gibt jedoch Korrekturen höherer Ordnung an der Klammer der Polarkoordinaten an und erklärt, warum die naive kanonische Quantisierung für Polarkoordinaten fehlschlägt.