Klarstellung bei der Ableitung des Radialimpulsoperators prprp_r

Beim Ableiten eines Ausdrucks für$p_r$, dem Radialimpuls eines Teilchens, bin ich mir nicht sicher, was bei einem bestimmten Schritt passiert. Die in The Physics of Quantum Mechanics von Binney und Skinner angegebene Herleitung lautet wie folgt:

$$p_r=\frac{1}{2}(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{p}+\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})$$ $$=\frac{1}{2}(\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot\mathbf{p}+\mathbf{p}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r})$$ Weil $\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}$. Einsetzen $\mathbf{p}=-i\hbar\vec{\nabla}$wir bekommen $$p_r=\frac{1}{2}(\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot-i\hbar\vec{\nabla}+-i\hbar\vec{\nabla}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r})$$ oder $$p_r=-\frac{i\hbar}{2}(\frac{1}{r}\mathbf{r}\cdot\vec{\nabla}+\vec{\nabla}\cdot\mathbf{r}\frac{1}{r})$$ Hier ist nun der Teil, der mich verwirrt: Weil $r\frac{\partial}{\partial r}=x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}+z\frac{\partial}{\partial z}=\mathbf{r}\cdot\vec{\nabla}$Und $\vec{\nabla}\cdot\mathbf{r}=3$Wir können sagen $$p_r=-\frac{i\hbar}{2}(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{3}{r}-\frac{r}{r^2}+\frac{\partial}{\partial r})$$ Ich kann deutlich sehen, woher die ersten beiden Terme dieser letzten Gleichung kommen, aber ich sehe nicht, woher die kommen $-\frac{r}{r^2}+\frac{\partial}{\partial r}$kommt ins Spiel.

Der einzige Schritt nach dieser letzten Gleichung besteht darin, zu vereinfachen, und Sie erhalten

$$p_r=-i\hbar(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r})$$ was ich weiß ist richtig. Könnte bitte jemand diesen mittleren Schritt erläutern?