Beweis des eichinvarianten Impulsoperators

Der eichinvariante Impulsoperator soll sein P ~ = P − Q ∇ Λ ( R ) , Wo R ist der Positionsoperator und Λ ( R ) ist eine reelle Funktion.

Die gegebene unitäre Transformation ist U = e ich Q Λ ( R ) / ℏ . Also, um die Form von zu zeigen P ~ Ich muss rechnen:

P ~ = U P U † = e ich Q Λ ( R ) / ℏ P e − ich Q Λ ( R ) / ℏ .

Ich denke, ich kann mit einer Taylor-Entwicklung von fortfahren U , So:

P ~ = ( 1 + ich ℏ Q Λ ( R ) + … ) P ( 1 − ich ℏ Q Λ ( R ) + … ) = P − ich ℏ Q P Λ ( R ) + ich ℏ Q Λ ( R ) P + Q 2 ℏ 2 Λ ( R ) P Λ ( R ) + … ≈ P − ich ℏ Q P Λ ( R ) + ich ℏ Q Λ ( R ) P ,

wo, in letzter Näherung habe ich das verwendet Q ≪ 1 . Wenn ich einführe P = − ich ℏ ∇ Im letzten Schritt erhalte ich die gewünschte Form von P ~ aus den ersten beiden Termen, aber der letzte Term ist zusätzlich und entspricht Λ ( R ) ∇ .

Warum erhalte ich diesen zusätzlichen Begriff? Vielleicht folge ich einfach nicht dem richtigen Verfahren. Irgendwelche Vorschläge?

Antworten (2)

Wenn Λ eine Funktion des Positionsoperators ist, können Sie nicht einfach behandeln Λ als Skalarfunktion. Was Sie erhalten, ist in der Tat P ~ = P − ich Q [ P , Λ ( R ) ] .

Für Analysefunktionen können Sie jederzeit erweitern Λ als Potenzreihe in R und berechne den Kommutator mit P für jede Potenz von R unter Verwendung der kanonischen Vertauschungsbeziehungen und der Produktregel für Operatoren. Sie erhalten [ P , Λ ( R ) ] = − ich Λ ' ( R ) . Damit erhalten Sie das gesuchte Ergebnis.

Für Kommutatoren, die Funktionen von Operatoren beinhalten, siehe zum Beispiel hier physical.stackexchange.com/q/98372
Das ergibt für mich Sinn. Aber ich denke, dass der Kommutator sein muss [ P , Λ ( R ) ] = − ich ℏ ∇ Λ ( R ) ? mit dem entsprechenden ℏ aus P = − ich ℏ ∇ .
Ja! das habe ich geschrieben. Ich habe die Angewohnheit zu setzen ℏ = 1 . Schreiben Λ ' anstatt ∇ Λ ist nur eine Frage der Notation :-)

Sie sollten sich daran erinnern, dass diese Operatoren auf Wellenfunktionen wirken:

U P U + ψ = P ψ − ich ℏ P ( Q Λ ψ ) + ich ℏ Q Λ P ψ
erstmal reinbestellen Q Λ . Beachten Sie, dass im zweiten Term in der rechten P wirkt auf Λ ψ und nicht nur auf Λ . Mit der Tatsache, dass
P ( Λ ψ ) = ( P Λ ) ψ + Λ ψ
Der letzte Term der ersten Gleichung wird also durch den letzten Term der zweiten Beziehung aufgehoben. Es folgt dem
U P U + ψ = P ψ − ich Q ℏ ( P Λ ) ψ = P ψ + Q ( ∇ Λ ) ψ

Natürlich! Ich weiß nicht, wie ich vergessen habe, dass die eigentliche Definition einer Operatortransformation so ist < ψ ' | P ~ | ψ ' >=< ψ | P | ψ > . Es ist also richtig, dass die Wirkung auf ein Zustands-Ket berücksichtigt werden muss. Mit dieser Tatsache erhalte ich ein etwas anderes Ergebnis als bei Ihnen, mit einem Minuszeichen in der Transformation, wie es das Problem vorschlägt.
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