Beweis, dass der Impulsoperator hermitesch ist [geschlossen]

Ich versuche zu beweisen, dass die Dynamik P X Operator hermitesch ist, ist mein Ansatz der folgende

< P X >   =   ∫ Ψ ∗ ( R → , T ) [ − ich H ∂ ∂ X ] Ψ ( R → , T ) D 3 R .

Ich versuche, die Integration nach Teilen durchzuführen, aber ich kann das Differential nicht auflösen, da die Integration in Bezug auf ist R → und der Teil ist in Bezug auf X .

D 3 R = D X D j D z und Sie können nach Teilen integrieren

Antworten (1)

Wenn Sie nur mit arbeiten P ^ X , interessieren Sie sich wirklich nur für das Integral über x und nicht für das gesamte Volumen ( D 3 R = D X D j D z ). Wie auch immer, ein hermitescher Operator ist so einer A † = A . Das bedeutet, dass P ^ † = ( P ^ ∗ ) ' = P ^ wobei der Strich eine Transponierung anzeigt. Eine Transponierung bedeutet in diesem Fall wirklich, dass der Operator nach links agiert. Unter der Annahme, dass die Wellenfunktionen auf der Integrationsgrenze verschwinden, sollten Sie das zeigen können

∫ D X Ψ ∗ ( X , T ) ( P ^ X Ψ ( X , T ) ) = ∫ D X ( Ψ ∗ ( X , T ) P ^ X † ) Ψ ( X , T )
Das bedeutet, dass der Impulsoperator hermitesch ist. Es kann aufschlussreich sein, dies in 3D auszuarbeiten, wo P ^ = − ich ℏ ∇ → und das Integral läuft über das gesamte 3D-Volumen.

Aber beweisen Hermitesch vorbei X bedeutet das nicht, dass es hermitesch über das Volumen ist?
Der fragliche Operator ist nur von x abhängig, wenn er also hermitesch auf x ist, ist er hermitesch. Das gleiche Verfahren gilt für den gesamten Band, wenn auch zu beweisen P X Hermitesch ist, brauchen Sie nicht das gesamte Volumenintegral.
Beweis, dass der Impulsoperator hermitesch ist [geschlossen]
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