Berechnungsmethode

Die Taylorreihe einer Funktion von$d$Variablen ist wie folgt:

$$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \sum_{n_1=0}^{\infty}\ldots\sum_{n_d=0}^{\infty} \frac{(y_1-x_1)^{n_1} \ldots (y_d - x_d)^{n_d}}{n_1!\ldots n_d!} \left. \left( \partial_1^{n_1}\ldots \partial_d^{n_d} \right) f \right|_{\mathbf{x}}.$$

Wo$\partial_i^{n_i} f$Bedeutet die$n_i^{\text{th}}$Ordnung partielle Ableitung von$f$in Bezug auf die$i^{\text{th}}$koordinieren". Betrachten Sie nur die Terme wo$\sum_{i=1}^{\infty} n_i = 1$. Dies sind die Terme, für die nur eine Ableitung genommen wird, auch bekannt als die "linearen Terme". Halten der$0^{\text{th}}$Ordnungsterm und den linearen Termen ergibt

$$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x})+\sum_{i=1}^{d}(y_i - x_i) \left. (\partial_i f \right)|_{\mathbf{x}} . \qquad (*)$$

Definieren Sie die Verschiebung$\epsilon = \mathbf{y} - \mathbf{x}$. Dann

$$\epsilon \cdot \nabla = \sum_{i=1}^d (y_i - x_i) \partial_i$$

per Definition von was$\cdot$bedeutet. Halten Sie sich daher nur an lineare Terme,$(*)$wird

$$f(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \left. (\epsilon \cdot \nabla)\right|_{\mathbf{x}}f .$$

Sie sehen also, Ihre Formel ist korrekt, nur in einer bestimmten Schreibweise, an die Sie möglicherweise nicht gewöhnt sind.

Algebraische Methode

Um weniger Tipparbeit zu leisten, werde ich dies in einer Dimension erklären, aber nichts in der eigentlichen Berechnung ist auf eine Dimension beschränkt.

Den Zustandsvektor kann man sich als Linearkombination von Eigenvektoren des Positionsoperators vorstellen

$$|\Psi\rangle = \int_x \Psi(x) |x\rangle \qquad (1)$$

Wo$\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$. BH einführen$\langle y |$von links und verwenden$\langle y | x \rangle = \delta(x-y)$in (1) gibt

$$\langle y | \Psi \rangle = \Psi(y) . \qquad (2)$$

Die Kombination von (1) und (2) ergibt

$$|\Psi\rangle = \int_x |x\rangle \langle x| \Psi \rangle \qquad (3)$$

was das zeigt$\int_x |x\rangle \langle x | = \text{Identity}$. Lassen Sie uns wirklich verstehen, was das alles bedeutet: Gl. (1) sagt nur, dass man einen Vektor als Linearkombination von Basisvektoren schreiben kann. In diesem Fall,$\Psi(x)$sind die Koeffizienten in der Linearkombination. Mit anderen Worten, die Wellenfunktion sind nur die Koeffizienten einer linearen Kombinationsentwicklung, die in die Positionsbasis geschrieben sind. Gl. (2) macht dies deutlich, indem er zeigt, dass das innere Produkt eines Positionsbasisvektors ist$|y\rangle$mit$|\Psi\rangle$ist genau$\Psi(y)$. Gl. (3) drückt nur eine nette Art aus, den Identitätsoperator auf eine Weise auszudrücken, die wir sehr nützlich finden werden. Beachten Sie, dass dies mit jeder Basis funktioniert . Zum Beispiel,

$$\int_p |p\rangle \langle p | = \text{identity} .$$

Wir können dies verwenden, um einen Positionseigenvektor in Form von Impuls-Eigenvektoren auszudrücken,

$$|x\rangle = \int_p |p\rangle \langle p | x \rangle = \int_p e^{-i x p/\hbar}|p\rangle ,$$ wo wir die Tatsache verwendet haben, dass $\langle x | p \rangle = e^{i p x/\hbar}$[1].

Kommen wir nun zurück zur eigentlichen Frage. Definieren$|\Psi'\rangle \equiv e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar}|\Psi\rangle$. Lassen Sie uns evaluieren$\Psi'(y) \equiv \langle y|\Psi'\rangle$:

$$\begin{align} \Psi'(y) &= \langle y | \Psi' \rangle \\ &= \langle y| e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |\Psi \rangle \\ &= \langle y| e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} \int_x \Psi(x) |x\rangle \\ &= \int_x \Psi(x) \langle y | e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle . \end{align}$$

Um fortzufahren, müssen wir rechnen$e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle$. Wir können dies tun, indem wir unseren Ausdruck für die Identität in Bezug auf Impulszustände verwenden,

$$\begin{align} e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle &= e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} \left( \int_p |p\rangle \langle p | \right) | x \rangle \\ &= \int_p e^{i \epsilon \hat{p} / \hbar} |p\rangle \langle p | x \rangle \\ &= \int_p e^{i \epsilon p / \hbar} |p\rangle \langle p | x \rangle \\ &= \int_p e^{i \epsilon p /\hbar} |p\rangle e^{-i p x/\hbar}\\ &= \int_p e^{-i(x - \epsilon) p / \hbar} |p\rangle \\ &= |x - \epsilon \rangle \end{align}$$

Das ist eigentlich das, woran Sie sich bei dieser Frage erinnern sollten:

$$e^{i\epsilon\hat{p}/\hbar}|x\rangle = |x - \epsilon \rangle .$$

Dies ist eine ausgezeichnete Gleichung, weil sie Ihnen etwas darüber aussagt, wie ein$e^{i \epsilon \hat{p} /\hbar}$Operator ändert einen Positionseigenvektor, ohne ihn in einer bestimmten Basis ausschreiben zu müssen.

Jetzt, wo wir das haben, können wir zu dem zurückkehren, was wir zu berechnen versuchten,

$$\begin{align} \Psi'(x) &= \int_x \Psi(x) \langle y | e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle \\ &= \int_x \Psi(x) \langle y | x - \epsilon \rangle \\ &= \int_x \Psi(x) \delta(y - (x - \epsilon)) \\ &= \Psi(y + \epsilon) . \end{align}$$

Das ist die Gleichung, die du beweisen wolltest. Wenn ich irgendwelche Minuszeichen durcheinander gebracht habe, hoffe ich, dass jemand sie bearbeitet :)

[1] Ich beweise das nicht, und wenn Sie wissen wollen, warum das wahr ist, wäre es eine gute Frage auf dieser Seite.