Beweis für Kommutatorrelation [H^,a^]=−ℏωa^[H^,a^]=−ℏωa^[\hat{H},\hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a}

Ich weiß, wie man die folgenden Gleichungen auf Wikipedia herleitet, und habe es auch selbst gemacht:

$$\begin{align} \hat{H} &= \hbar \omega \left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right)\\ \hat{H} &= \hbar \omega \left(\hat{a}\hat{a}^\dagger - \frac{1}{2}\right)\\ \end{align}$$

Wo$\hat{a}=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{P} - i \hat{X}\right)$ist ein Vernichtungsoperator und$\hat{a}^\dagger=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{P} + i \hat{X}\right)$ein Erstellungsoperator. Lassen Sie mich auch das schreiben:

$$\begin{align} \hat{P}&= \frac{1}{p_0}\hat{p} = -\frac{i\hbar}{\sqrt{\hbar m \omega}} \frac{d}{dx}\\ \hat{X}&=\frac{1}{x_0} \hat{x}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \end{align}$$

Um fortzufahren, brauche ich einen Beweis, dass Operatoren$\hat{a}$Und$\hat{a}^\dagger$Geben Sie einen folgenden Kommutator mit Hamiltonian an$\hat{H}$:

$$\begin{align} \left[\hat{H},\hat{a} \right] &= -\hbar\omega \, \hat{a}\\ \left[\hat{H},\hat{a}^\dagger \right] &= +\hbar\omega \, \hat{a}^\dagger \end{align}$$

Diese Aussagen sind sowohl auf Wikipedia als auch hier zu finden , aber nirgendwo ist bewiesen, dass die obigen Beziehungen für den Kommutator wirklich gelten. Ich habe versucht abzuleiten$\left[\hat{H},\hat{a} \right]$und mein Ergebnis war:

$$\left[\hat{H},\hat{a} \right] \psi = -i \sqrt{\frac{\omega \hbar^3}{4m}}\psi$$

Sie sollten wissen, dass dies der dritte Kommutator ist, den ich jemals berechnet habe, also ist es wahrscheinlich falsch, aber hier ist ein Foto von meinem Versuch auf Papier. Ich würde mich freuen, wenn jemand einen Link zu einem Beweis der Kommutatorbeziehungen hat (einer wird es tun) oder einen Beweis hier posten könnte.