Berechnung von ⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]| 0\rangle

Gegeben Hamiltonian H = P 2 2 + ω 2 2 Q 2 , berechnen ⟨ 0 | T [ Q ( T 2 ) Q ( T 1 ) ] | 0 ⟩ , Wo T ist die zeitliche Ordnung des Produkts, | 0 ⟩ ist der Grundzustand. Jetzt einstellen ℏ = M = 1 und definieren

Q ( T ) = e ich H T Q e − ich H T
Und
Q | Q ⟩ = Q | Q ⟩

Anscheinend ist das ein Hinweis auf diese Frage H | N ⟩ = ( N + 1 2 ) ω | N ⟩ Und

Q = 1 2 ω ( A + A † )

Jetzt verstehe ich nicht, wie ich an diese Frage herangehen soll. Die Form ⟨ 0 | T [ Q ( T 2 ) Q ( T 1 ) ] | 0 ⟩ würde vorschlagen, die Feynman-Formel zu verwenden

⟨ 0 | T [ Q ( T 2 ) Q ( T 1 ) ] | 0 ⟩ = 1 Z ∫ D Q Q _ ( T 1 ) Q _ ( T 2 ) e ich ∫ ∞ ∞ D T L ( Q _ , Q ˙ _ )
aber das entspricht dem Hinweis, und ich sehe auch nicht, wohin damit.

Was ist die richtige Herangehensweise an diese Frage?

Sie sollten zuerst herausfinden, was ist Q ( T ) ausdrücklich in Bezug auf A Und A † , unter Verwendung der Heisenbergschen Bewegungsgleichung.

Antworten (1)

Nein, der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, diese Formel nicht zu verwenden – die übrigens Teil einer völlig anderen Formulierung der Quantenmechanik ist. Der Q s und Q ˙ s innerhalb des Pfadintegrals sind klassische c-Zahl-bewertete Pfade, deren Interferenz den Quantengehalt in Korrelationsfunktionen ergibt. Das Problem, das Sie lösen sollen, scheint darauf abzuzielen, den kanonischen Formalismus zu lehren, bei dem Observablen in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren geschrieben werden. Der Unterschied zwischen den beiden Perspektiven hat mich ziemlich verwirrt, als ich zum ersten Mal QFT lernte.

Sie haben bereits alles, was Sie brauchen, um die Frage zu beantworten. Vielleicht ist es einfacher, wenn Sie zunächst rechnen ⟨ 0 | T [ Q ( 0 ) ( Q ( 0 ) ] | 0 ⟩ : dann werden Sie diese Schrift ganz deutlich sehen Q in Bezug auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren macht das Matrixelement einfach zu berechnen.

Um dann den allgemeinen Fall zu bearbeiten, müssen Sie sich mit dem zeitgeordneten Produkt befassen, was bedeutet, dass Sie den Ausdruck in zwei "Fälle" aufteilen müssen - das ist völlig in Ordnung - oder Sie können Heaviside-Schrittfunktionen verwenden. Ganz gleich, wofür Sie sich entscheiden, Sie haben einen Hamilton-Operator im Exponential, aber die Wirkung des Hamilton-Operators auf Zahlen-Eigenzustände ist einfach, und Sie können die Antwort durch direkte Berechnung finden.

Entschuldigung, ich bin verwirrt über die beiden Perspektiven. Könnten Sie das näher erläutern? Mir war nicht bewusst, dass es zwei Perspektiven gibt.
Nur um es klar zu sagen, dieser Unterschied ist vor allem für die Quantenfeldtheorie wichtig, von der ich annehme, dass Sie sie lernen. In der Quantenmechanik ist das Pfadintegral für Berechnungen weniger nützlich, sodass sich ein praktisch denkender Quantenmechaniker nie darum kümmern muss.
Das Wesentliche davon ist: Das Pfadintegral tastet "klassische" Trajektorien ab, in dem Sinne, dass sie gut definiert sind X Und X ˙ jederzeit. Ich habe Anführungszeichen gesetzt, weil die Trajektorien natürlich nicht den klassischen Bewegungsgleichungen gehorchen. Tatsächlich können sie sogar "unmögliche" Pfade wie die für die ausprobieren X ˙ Einheit übersteigt. Das ist in Ordnung, denn solche Pfade stören immer destruktiv.
Den quantenmechanischen Gehalt der Theorie erhält man durch Berechnung von Korrelationsfunktionen nach den Pfadintegralformeln. Es ist die Abwägung verschiedener Pfade durch verschiedene Phasen, die dafür sorgt, dass der Formalismus die richtige Antwort gibt. Um es noch einmal zu wiederholen, nichts innerhalb des Pfadintegrals ist ein "Operator". X Und X ˙ sind nur C-Zahl-bewertete Funktionen, die integriert werden.
Der kanonische Formalismus behandelt dagegen X Und P als Operatoren durchgängig. Wenn Sie eine Korrelationsfunktion berechnen möchten, müssen Sie die Operatoren in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausdrücken und ihre Wirkung auf den Vakuumzustand sehen. Dies ist gewissermaßen das „wahre“ Gerüst der Quantenfeldtheorie, denn in dieser Formulierung manifestiert sich die Natur des Hilbert-Raums. Was wir mit „einem Teilchen“ meinen, ist zum Beispiel nichts anderes als ein Eigenzustand des Zahlenoperators.
Deshalb haben Sie Ausdrücke wie die letzte Formel in Ihrem OP: es erkennt Q als Operator und führt das Pfadintegral als praktisches Berechnungswerkzeug für Korrelationsfunktionen (in diesem Fall den Propagator) ein. Es kann für Menschen verwirrend sein, zu verstehen, dass die Q s auf der linken Seite sind Operatoren und die Q s und Q ˙ s auf der rechten Seite sind c-Nummern, und nicht sehr viele Bücher geben dies direkt an. Ich war verwirrt, und Sie anscheinend auch.
Berechnung von ⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]| 0\rangle
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