Dreidimensionaler isotroper harmonischer Oszillator Hamiltonian

Betrachten wir den Hamilton-Operator für den isotropen dreidimensionalen harmonischen Oszillator:

H = P 2 2 M + M ω 2 R 2 2 ,

Wo P Und R sind die üblichen Impuls- und Ortsoperatoren in drei Dimensionen. Ich möchte das zeigen, wenn wir definieren

T = 1 2 ℏ ( M ω   R − ich M ω P ) ,

wir werden haben H = ℏ ω ( T T † + 3 / 2 ) .

Dazu habe ich einfach gerechnet T † mit der Tatsache, dass R Und P sind hermitesch und berechneten das Produkt:

T T † = 1 2 ℏ ( M ω   R − ich M ω P ) ( M ω   R + ich M ω P ) ,

das ist:

T T † = 1 2 ℏ ( M ω R 2 + ich R P − ich P R + P 2 M ω ) ,

und mit der Tatsache, dass [ R , P ] = ich ℏ wir bekommen

T T † = 1 2 ℏ ( M ω R 2 − ℏ + P 2 M ω ) = 1 ℏ ω ( H − ℏ ω 2 ) ,

mit anderen Worten, wir haben H = ℏ ω T T † + ℏ ω 2 = ℏ ω ( T T † + 1 2 ) .

Mit anderen Worten, hier stimmt etwas nicht. Ich habe die gleiche Berechnung einige Male wiederholt, aber ich bekomme immer das gleiche. Was fehlt mir hier? Wie endet man mit H = ℏ ω ( T T † + 3 / 2 ) ?

Ich dachte ursprünglich, dass dies nicht zum Thema gehört, aber nachdem ich die Hausaufgabenrichtlinie sorgfältig gelesen hatte, änderte ich meine Meinung. Ich konnte mir jedoch vorstellen, dass der Streit in beide Richtungen gehen würde.

Antworten (1)

Die Antwort gibt Prahar in seinen Kommentaren:

(01) T ⋅ T † = T 1 T 1 † + T 2 T 2 † + T 3 T 3 †
Für k = 1 , 2 , 3 (1)
(02) T k T k † = 1 2 ℏ ( M ω   R k − ich M ω P k ) ( M ω   R k + ich M ω P k )

(03) T k T k † = 1 2 ℏ ( M ω R k 2 + ich R k P k − ich P k R k ⏟ − ℏ + P k 2 M ω )
usw.....
(04) T T † = 1 2 ℏ ( M ω R 2 − 3 ℏ + P 2 M ω ) = 1 ℏ ω ( H − 3 ℏ ω 2 )

(1) In den folgenden Gleichungen (02) & (03) wird davon ausgegangen, dass wir die Einstein-Summierungskonvention für wiederholte Indizes nicht verwenden.

Dreidimensionaler isotroper harmonischer Oszillator Hamiltonian
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