Verschiebungsoperator (Integralrechnung mit Hermite-Polynomen) [geschlossen]

Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist zunächst die Induktion$n$und dann weiter$l$. Der Basisfall ist einfach, da$H_0(x)$konstant ist und das Integral eine einfache Gaußsche Funktion ist; das Integral für$n=1$Und$l=0$ist auch einfach. Dann fixieren$l=1$und nehmen Sie die Formel für beliebig an$n$. Dann kann die Formel bewiesen werden$n+1$durch Verwendung der Wiederholungsrelation für$H_{n+1}$,

$$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_n(x),$$ wechseln $2x$Faktor für ein Derivat in Bezug auf $k$, und Anwendung einer Wiederholungsrelation für das Laguerre-Polynom auf der rechten Seite. Das wird den allgemeinen Fall unter beweisen $l=1$. Verwenden Sie dann ein ähnliches Induktionsverfahren für $1\leq l\leq n$wird die vollständige Aussage beweisen.

Ich weiß, es ist hässlich, aber es sollte funktionieren.

Die andere Möglichkeit besteht darin, das zu tun, was alle anderen tun: es auf das Matrixelement zu reduzieren$\langle m|\hat{D}(\alpha)|n\rangle$und dann blind zitieren* Cahill und Glauber (Ordered expansions in boson amplitude operator. Phys. Rev. 177 no. 5 (1969), pp. 1857-1881, Appendix B. ). Was sie tun, wenn man meinen Thesennotizen trauen kann, ist das Matrixelement zu vergleichen

$$\langle m|\hat{D}(\beta)|\alpha\rangle=\langle m|e^{\frac12 (\beta\alpha^\ast-\beta^\ast\alpha)}|\alpha+\beta\rangle=\frac{1}{\sqrt{m!}}(\beta+\alpha)^m e^{-\frac12|\beta|^2-\frac12|\alpha|^2-\beta^\ast\alpha}$$ auf die erzeugende Funktion der Laguerre-Polynome, $$(1+y)^m e^{-xy}=\sum_{n=0}^\infty L_n^{(m-n)}(x) y^n$$ (was für alle gilt $y\in\mathbb{C}$; nehmen $y=\beta/\alpha$bis zu Konjugierten) und von dort zum ursprünglichen den kohärenten Zustand erweitern $|\alpha\rangle$in einer Zahlenzustandsentwicklung, Vergleichskoeffizienten von $\alpha^n$.

(Beachten Sie auch, dass Sie eine Drehung zu komplex machen müssen$k$. Das liegt daran, dass Ihr Integral von der Form ist$\langle m|e^{k\hat{x}}|n\rangle$und für echt$k$der Betreiber$e^{k\hat{x}}$ist nicht einheitlich. Dadurch kommt Ihr gewünschtes Ergebnis auch in die viel schönere Form$L_{m_<}^{|n-l|}(k^2/2)e^{-\frac14 k^2}$, die für klein schwingt$k$und zerfällt dann. Ändern$k$für$ik$ist gültig, da beide Seiten Ihrer Zielgleichheit ganze Funktionen von sind$k\in\mathbb{C}$, und der Beweis, dass sie in einer Achse gleich sind, genügt durch analytische Fortsetzung .)

Wenn Sie mich fragen, ist das genauso hässlich. Aber ich würde Ihnen raten, beide Wege zu gehen, da Sie von jedem eine Menge lernen werden. Wenn Sie aufgeben, lautet das magische Google-Schlüsselwort "Displaced Number States".

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*Fun Fact: Abhandlungen, die dieses Matrixelement benötigen, zitieren normalerweise auch die andere Abhandlung von Cahill und Glauber (Seite 1883, gleiche Zeitschrift, gleicher Band), die sich nicht darauf bezieht. Vorsicht vor blindem Zitieren!