Eigenfrequenzen von Normalmoden

Am besten schaut man sich die Eigenvektoren an. Dies wird Ihnen alles sagen, was Sie wissen müssen.

Ohnehin,$0$entspricht allen Massen, die sich gemeinsam drehen.

Ein anderer Modus entspricht benachbarten Massen, die sich symmetrisch näher und weiter voneinander entfernen. Hier können Sie eine verallgemeinerte Koordinate auswählen$x$der Abstand zwischen einem Paar benachbarter Massen sein. Die potentielle Energie ist dann$\frac{k}{2} (2x^2 + 2(\pi r - x)^2) + \dots$während die kinetische Energie von der Form ist$\frac{m}{2} 4(\frac{\dot x}{2})^2$.

Ich glaube, dass ein letzter Modus darin besteht, dass zwei gegenüberliegende Massen fixiert bleiben, während die anderen Massen dazwischen oszillieren. Die schwingenden Massen bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen, so dass die Kräfte auf die ruhenden Massen ausgeglichen bleiben. In diesem letzten Fall können Sie die festen Massen durch unbewegliche Punkte ersetzen (Symmetrie). Dann sind an jeder der verbleibenden Massen zwei Federn befestigt, was eine effektive Federkonstante von ergibt$2k$. (In verallgemeinerten Koordinaten ist das Potential für eine Masse$\frac{k}{2} r^2(\theta_1)^2 + \frac{k}{2}r^2(\theta_1 - \pi)^2 + \dots$, also ist der führende Begriff$\sim \frac{2k}{2} x^2$)